前缀函数（KMP 中的 Pi 数组）

我们用 $s[l\dots r]$ 表示 $s$ 中由下标 $l\sim r$ 的字符组成的子串。

前缀函数，即 ${\pi }_i$。其含义是 $s[1\dots i]$ 的最长 border 长度。若不存在则为 $0$。

其中一个字符串的 border 表示它的某个（不等于原串的）子串，使得这个子串在原串的前缀和后缀都出现过。

显然一个字符串的 border 可能有多个，我们要求解的 ${\pi }_i$ 是最长的一个（的长度）。

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在这求解 $\pi$ 数组之前，先考虑这样一个问题：如果已经求出了 ${\pi }_1\dots {\pi }_n$，如何用这些数表示出 $s$ 的所有 border（的长度）？

首先 ${\pi }_n$ 是一个，且是最长的一个。我们考虑顺次求解第二长，第三长等的 border。

如图。根据 $\pi$ 数组的定义，我们可知图中 $2$ 段红色所代表的子串是相同的，$4$ 段蓝色所代表的子串也是相同的。

观察第一段蓝色和最后一段蓝色，发现这又是一个 $s$ 的 border，且长度仅次于 ${\pi }_n$。因此 $s$ 的第二长的 border（的长度）为 ${\pi }_{{\pi }_n}$。

同理不难得出第三长的是 ${\pi }_{{\pi }_{{\pi }_n}}$，第四长的是 ${\pi }_{{\pi }_{{\pi }_{{\pi }_n}}}$，以此类推。当递归到 $0$ 时就可以结束了。

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考虑顺次求解 ${\pi }_i$。即在计算 ${\pi }_i$ 前已经求解了 ${\pi }_1,{\pi }_2\dots {\pi }_{i-1}$，我们希望用这些值计算 ${\pi }_i$。

对于一个 $s[1\dots i-1]$ 的 border 而言，不妨令其长度为 $x$，其前缀和后缀的位置分别为 $[1,x]$ 和 $[i-x,i-1]$。

如果能将这个 border 的长度增加 $1$，即增加到 $[1,x+1]$ 和 $[i-x,i]$，那么必须要满足 $s_{x+1}=s_i$。如果这个条件满足，就意味着 $s[1,i]$ 存在一个 border 长度为 $x+1$。

我们可以用上面讲的方式枚举 $x$，即枚举 $s[1\dots i-1]$ 的 border（的长度）。因为我们从大到小枚举，所以第一个满足 $s_{x+1}=s_i$ 的 $x+1$ 就是 $s[1\dots i]$ 的最长 border，即 ${\pi }_i$ 的值。否则，若一个这样的 $x$ 也不存在，则 ${\pi }_i=0$。

求解 ${\pi }_1,{\pi }_2\dots {\pi }_n$ 的代码：

int ne[N];		// ne[i] 就是 pi[i]，即 s[1...i] 的最长 border（的长度）

ne[0] = ne[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++ i ) {
	int j = ne[i - 1];
	while (j && s[j + 1] != s[i]) j = ne[j];
	if (s[j + 1] == s[i]) j ++ ;
	ne[i] = j;
}