前缀函数（KMP 中的 Pi 数组）

我们用 \(s[l\dots r]\) 表示 \(s\) 中由下标 \(l \sim r\) 的字符组成的子串。

前缀函数，即 \(\pi_i\)。其含义是 \(s[1\dots i]\) 的最长 border 长度。若不存在则为 \(0\)。

其中一个字符串的 border 表示它的某个（不等于原串的）子串，使得这个子串在原串的前缀和后缀都出现过。

显然一个字符串的 border 可能有多个，我们要求解的 \(\pi_i\) 是最长的一个（的长度）。

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在这求解 \(\pi\) 数组之前，先考虑这样一个问题：如果已经求出了 \(\pi_1 \dots \pi_n\)，如何用这些数表示出 \(s\) 的所有 border（的长度）？

首先 \(\pi_n\) 是一个，且是最长的一个。我们考虑顺次求解第二长，第三长等的 border。

如图。根据 \(\pi\) 数组的定义，我们可知图中 \(2\) 段红色所代表的子串是相同的，\(4\) 段蓝色所代表的子串也是相同的。

观察第一段蓝色和最后一段蓝色，发现这又是一个 \(s\) 的 border，且长度仅次于 \(\pi_n\)。因此 \(s\) 的第二长的 border（的长度）为 \(\pi_{\pi_n}\)。

同理不难得出第三长的是 \(\pi_{\pi_{\pi_n}}\)，第四长的是 \(\pi_{\pi_{\pi_{\pi_n}}}\)，以此类推。当递归到 \(0\) 时就可以结束了。

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考虑顺次求解 \(\pi_i\)。即在计算 \(\pi_i\) 前已经求解了 \(\pi_1,\pi_2\dots \pi_{i-1}\)，我们希望用这些值计算 \(\pi_i\)。

对于一个 \(s[1\dots i-1]\) 的 border 而言，不妨令其长度为 \(x\)，其前缀和后缀的位置分别为 \([1,x]\) 和 \([i-x,i-1]\)。

如果能将这个 border 的长度增加 \(1\)，即增加到 \([1,x+1]\) 和 \([i-x,i]\)，那么必须要满足 \(s_{x+1}=s_i\)。如果这个条件满足，就意味着 \(s[1,i]\) 存在一个 border 长度为 \(x + 1\)。

我们可以用上面讲的方式枚举 \(x\)，即枚举 \(s[1\dots i - 1]\) 的 border（的长度）。因为我们从大到小枚举，所以第一个满足 \(s_{x+1} = s_i\) 的 \(x + 1\) 就是 \(s[1\dots i]\) 的最长 border，即 \(\pi_i\) 的值。否则，若一个这样的 \(x\) 也不存在，则 \(\pi_i = 0\)。

求解 \(\pi_1,\pi_2\dots \pi_n\) 的代码：

int ne[N];		// ne[i] 就是 pi[i]，即 s[1...i] 的最长 border（的长度）

ne[0] = ne[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++ i ) {
	int j = ne[i - 1];
	while (j && s[j + 1] != s[i]) j = ne[j];
	if (s[j + 1] == s[i]) j ++ ;
	ne[i] = j;
}