AtCoder Beginner Contest 356

Contest

从比赛开始第三分钟开始记：

• 00:00~00:02：A 题。

• 00:02~00:07：B 题。

• 00:07~00:16：C 题。

• 00:16~00:43：D 题。

• 00:43~01:02：E 题。

• 01:02~结束：摆烂。

A - Subsegment Reverse

• 给定 $n,l,r$。输出将序列 $A=(1,2,\dots ,n)$ 中 $[l,r]$ 翻转后的样子。
• $l\le r\le n\le 100$。

模拟。可以用 reverse 函数。

B - Nutrients

• 有 $m$ 种营养成分。对于第 $i$ 种营养成分，他的目标是每天摄入至少 $A_i$ 单位。今天，他吃了 $n$ 种食物，从第 $i$ 种食物中摄入了 $X_{i,j}$ 单位的营养成分 $j$。判断他是否满足了所有 $m$ 种营养成分的目标。
• $n,m\le 100$，$A_i,X_{i,j}\le {10}^7$。

用 $m$ 个桶维护每种营养的数量。

C - Keys

• 你有 $n$ 把编号为 $1,2,\dots ,n$ 的钥匙。其中一些是真正的钥匙，而其他的是假钥匙。

  有一扇门，你可以插入任意数量的钥匙。只有当至少插入 $k$ 把真正的钥匙时，门才会打开。

  你对这些钥匙进行了 $m$ 次测试。第 $i$ 次测试如下：

  • 你向门插入了 $c_i$ 把钥匙 $a_{i,1},a_{i,2},\dots ,a_{i,c_i}$。

  • 测试结果用一个英文字母 $r_i$ 表示：

    • $r_i=$ o表示第 $i$ 次测试时门X打开了。

    • $r_i=$ x表示第 $i$ 次测试时门X没有打开。

  有 $2^n$ 种可能的组合，确定哪些是真正的钥匙，哪些是假钥匙。在这些组合中，找出不与任何测试结果矛盾的组合数量。

• $k,n\le 15$，$m\le 100$。

$2^n$ 暴力枚举每种钥匙是不是真的。检查即可。

D - Masked Popcount

• 给定 $n,m$，求 $\sum _{i=0}^n\mathrm{popcount}(k\mathrm{\&}m)$。
• $n,m\le 2^{60}-1$。

令 $x_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 个二进制位。

逐二进制考虑。若当前枚举位 $i$，我们需要计算：

有多少 $x\in [0,n]$ 使得 $(x\mathrm{\&}m{)}_i=1$。

$m$ 是个定值。如果 $m_i=0$，那么显然上述答案为 $0$。否则上述答案为：

有多少 $x\in [0,n]$ 使得 $x_i=1$。

类似于数位 DP。拆贡献答案为：

$$(\sum _{j=i+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j\times 2^{j-1})+a_i\times (1+\sum _{j=0}^{i-1}{a}_j\times 2^j)$$

E - Max/Min

• 给定 $n,a_1\dots a_n$。求 $\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n\lfloor {\displaystyle \frac{max(a_i,a_j)}{min(a_i,a_j)}}\rfloor$。
• $n\le 2\times {10}^5$，$a_i\le {10}^6$。

首先可以统计 $a$ 中每种元素的出现次数 $cn{t}_i$，然后将 $a$ 排序并去重。令 $b_1\dots b_m$ 为去重后的 $a$，那么答案为：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n\lfloor {\displaystyle \frac{max(a_i,a_j)}{min(a_i,a_j)}}\rfloor & =\sum _{i=1}^{m-1}\sum _{j=i+1}^{m}cn{t}_{b_i}\times cn{t}_{b_j}\times \lfloor \frac{b_i}{b_j}\rfloor \\ & =\sum _{j=2}^m\sum _{i=1}^{j-1}cn{t}_{b_i}\times cn{t}_{b_j}\times \lfloor {\displaystyle \frac{b_i}{b_j}}\rfloor \\ & =\sum _{j=2}^{m}cn{t}_{b_j}\times \sum _{i=1}^{j-1}cn{t}_{b_i}\times \lfloor {\displaystyle \frac{b_i}{b_j}}\rfloor \end{array}$$

后面这坨预处理 $cn{t}_i$ 前缀和并整除分块。总时间复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt{a_i})$