高维前缀和

• 给定 $n,q$ 和 $f(0),f(1),\dots ,f(2^n-1)$。$q$ 次询问，给定 $S$，求：

  $$\sum _{S^{\prime }\subseteq S}f(S^{\prime })$$

• $n\le 20$，$q\le {10}^6$。

令 $S_i$ 表示 $S$ 的第 $i$ 个二进制位。

可以发现若 $S^{\prime }\subseteq S$，那么对于所有 $i$ 都有 $S_i^{\prime }\le S_i$。也就是要求：

$$\sum _{S_0^{\prime }=0}^{S_0}\sum _{S_1^{\prime }=0}^{S_1}\sum _{S_2^{\prime }=0}^{S_2}\dots ,\sum _{S_{n-1}^{\prime }=0}^{S_{n-1}}f(S^{\prime })$$

发现这就是一个 $n$ 维的前缀和的形式。

对于二维前缀和，除朴素的容斥做法 $s_{i,j}=s_{i,j-1}+s_{i-1,j}-s_{i-1,j-1}+a_{i,j}$ 外，可以用这种方式：

for (int i = 1; i <= n; ++ i )
	for (int j = 1; j <= n; ++ j )
		a[i][j] += a[i][j - 1];
for (int i = 1; i <= n; ++ i )
	for (int j = 1; j <= n; ++ j )
		a[i][j] += a[i - 1][j];

第一个循环后，$a_{i,j}=a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots +a_{i,j}$，表示先对每行单独做一遍前缀和。

第二个循环后，$a_{i,j}$ 就是真正的左上矩阵的和，此时是对每列单独做一遍前缀和。

同理可以延伸到三维：

for (int i = 1; i <= n; ++ i )
	for (int j = 1; j <= n; ++ j )
		for (int k = 1; k <= n; ++ k )
			a[i][j][k] += a[i - 1][j][k];
for (int i = 1; i <= n; ++ i )
	for (int j = 1; j <= n; ++ j )
		for (int k = 1; k <= n; ++ k )
			a[i][j][k] += a[i][j - 1][k];
for (int i = 1; i <= n; ++ i )
	for (int j = 1; j <= n; ++ j )
		for (int k = 1; k <= n; ++ k )
			a[i][j][k] += a[i][j][k - 1];

枚举范围为 $[0,1]$ 时就可以用位运算计算了。

我们令答案式为 $g(S)$。类比上边两份代码，可以得到：

for (int j = 0; j < n; ++ j )
    for (int i = 0; i < (1 << n); ++ i )
		if (i >> j & 1)
			g[i] += g[i ^ (1 << j)];

例题：CF1234F Yet Another Substring Reverse。