基础数论
欧拉函数 \(\varphi(x)\)
https://oi-wiki.org/math/number-theory/euler/
\(\varphi(x) = \sum\limits_{k = 1}^x[\gcd(k, x) = 1]，\)表示 \(1 \sim x - 1\) 中与 \(x\) 互质的数。
欧拉函数是一个积性函数，但不是完全积性函数。
- 积性函数：\(f(1) = 1\)，且当 \(\gcd(x, y) = 1\) 时，\(f(xy) = f(x)f(y)\)。
- 完全积性函数：\(f(1) = 1\)，且 \(\forall x, y ,f(xy) = f(x)f(y)\)。
性质
- \(\varphi(n) = n \times \prod\limits_{p \mid n, p\ is\ a\ prime} \dfrac {p-1}p\)
- \(\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}\)
- \(\sum\limits_{\gcd(i, n) = 1} i = \dfrac{\varphi(n) \times n}2\)
欧拉定理
若 \(\gcd(k, n) = 1\)，则有 \(k^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\)
证明
设序列 \(a\) 为 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数，为 \(\{a_1,a_2,a_3,\dots,a_{\varphi(n)}\}\)，显然有以下两条性质：
- \(\forall i\)，有 \(\gcd(a_i,n) = 1\)，也就是 \(a_i\) 与 \(n\) 互质。这是显然的，因为这是欧拉函数的定义；
- \(\forall(i, j)\)，有 \(a_i \not\equiv a_j \pmod n\)。因为所有 \(a_i\) 都是 \(< n\) 的。
现在找到一个数 \(k\)，满足 \(\gcd(k, n) = 1\)，也就是 \(k\) 与 \(n\) 互质，并重新定义一个序列 \(b = \{ka_1, ka_2, ka_3,\dots,ka_{\varphi(n)}\}\)，那么现在证明仍然满足上面的性质：
- \(\forall i\)，有 \(\gcd(b_i,n) = 1\)，也就是 \(b_i\) 与 \(n\) 互质。由于 \(b_i = k \times a_i\)，又因为 \(k\) 与 \(n\) 互质，\(a_i\) 与 \(n\) 互质，所以 \(k \times a_i\) 也与 \(n\) 互质；
- \(\forall(i, j)\)，有 \(b_i \not\equiv b_j \pmod n\)。利用反证法，若 \(b_i \equiv b_j \pmod n\)，则这个式子可以变为 \(ka_i \equiv ka_j \pmod n\)。两边同时 \(\div k\)，也就变成了 \(a_i \equiv a_j \pmod n\)，这与上面的结论不符。故 \(b_i \not\equiv b_j \pmod n\)。.
若将所有的 \(b_i\) 对 \(n\) 取模，也就是 \(b_i' = ka_i \bmod n\)，那么根据上面的证明，可知 \(b'\) 中的元素互不相同。而且由于有过取模，所以 \(b_i'\) 一定是在 \([0, n)\) 的范围内的，所以 \(b_i'\) 与 \(n\) 互质。像这样大小为 \(\varphi(n)\)，各不相同，且与 \(n\) 都互质的数构成的序列有且仅有一个，所以 \(b' = a\)。
所以可以得到：
等式两边同时 \(\div \prod\limits_{i=1}^{\varphi(n)}a_i\)，则有：
应用
- 求逆元：\(\dfrac 1k \equiv k^{\varphi(p)-1} \pmod p\)（当 \(p\) 为质数时）。
- 降低指数：\(k^a \equiv k^{a \bmod \varphi(p)} \pmod p\)。
- 扩展欧拉定理：\(p\) 可以不是质数，\(k\) 可以不与 \(p\) 互质。
求解
\(\Theta(\sqrt n)\) 求一个 \(\varphi(n)\)：\(\varphi(n) = n \times \prod\limits_{p \mid n, p\ is\ a\ prime} \dfrac {p-1}p\)
\(\Theta(n)\) 求 \(\varphi(1) \sim \varphi(n)\)：线性筛法：
- 若 \(i\) 是质数，显然 \(1 \sim i-1\) 都与 \(i\) 互质，故 \(\varphi(i) = i - 1\)；
- 枚举 \(j\)，找到 \(p_j \times i\)，分两种情况求解 \(\varphi(p_j \times i)\)：
- 若 \(i \bmod p_j = 0\)，也就是 \(p_j\) 是 \(i\) 的最小质因子。那么也就是说在原来的 \(i\) 中就已经有了一个质因子 \(p_j\)，所以 \(i\) 和 \(i \times p_j\) 的质因子是相同的。假设 \(i\) 的所有质因子是 \(q_k\)，那么 \(i \times p_j\) 的质因子也是 \(q_k\)，所以有 \(\varphi(p_j \times i) = p_j \times i \times \prod\limits_{q \mid i, q\ is\ a\ prime}\dfrac{q-1}q\)。其中后面的 \(\prod\limits_{q \mid i, q\ is\ a\ prime}\dfrac{q-1}q\) 就是 \(\varphi(i)\) 的值，所以 \(\varphi(p_j \times i) = p_j \times \varphi(i)\)；
- 若 \(i \bmod p_j \ne 0\)，也就是 \(p_j\) 不是 \(i\) 的最小质因子。那么根据积性函数的定义，显然有 \(\varphi(p_j \times i) = \varphi(p_j) \times \varphi(i)\)，也就是 \(\varphi(p_j \times i) = (p_j - 1) \times \varphi(i)\)。
int p[N]; // p[i] 表示第 i 个质数
bool st[N]; // st[i] 表示 i 是否是质数
int phi[N];
void prime(int n)
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) p[ ++ cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; p[j] <= n / i; j ++ )
{
st[p[j] * i] = 1;
if (i % p[j]) phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
else
{
phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
break;
}
}
}
}
除数函数 \(\sigma_k(x)\)
\(\sigma_k(x) = \sum\limits_{d \mid x} d^k\)。
\(k = 0\) 时，含义为 \(n\) 的约数个数和。
\(k = 1\) 时，含义为 \(n\) 的约数和。
除数函数全部是积性函数，但不是完全积性函数。
\(\sigma_0\) 求解
\(\Theta(\sqrt n)\) 求一个 \(\sigma_0(n)\)：若 \(n = \prod\limits_{i=1}^mp_i^{c_i}\)，那么根据乘法原理，有 \(\sigma_0(n) = \prod\limits_{i=1}^m(c_i+1)\)。
\(\Theta(n)\) 求 \(\sigma_0(1) \sim \sigma_0(n)\)：线性筛法：
在线性筛约数个数时还需要额外记录一个 \(num_i\) 数组，表示 \(i\) 的最小质因子的出现次数。
- 若 \(i\) 是质数，那么根据质数的定义，\(i\) 只有两个约数 \(1\) 和 \(i\)，故 \(\sigma_0(i) = 2\)，而且显然 \(num_i = 1\)；
- 枚举 \(j\)，找到 \(p_j \times i\)，分两种情况求解 \(\sigma_0(p_j \times i)\)：
- 若 \(i \bmod p_j = 0\)，也就是 \(p_j\) 是 \(i\) 的最小质因子。那么 \(i\) 原来有 \(p_j\) 这个约数，并且是最小的约数，现在的 \(p_j \times i\) 相比 \(i\) 又多了一个 \(p_j\)，也就是原来的 \(\times (p_j + 1)\) 变成了 \(\times (p_j + 1 + 1)\)，也就是 \(\times (p_j + 2)\)。所以求 \(\sigma_0(p_j \times i)\) 时就需要先把原来 \((p_j + 1)\) 的贡献移除，在重新加上 \((p_j + 2)\) 的贡献，也就是 \(\sigma_0(p_j \times i) = \sigma_0(i) \times \dfrac{p_j+2}{p_j-1}\)；
- 若 \(i \bmod p_j \ne 0\)，也就是 \(p_j\) 不是 \(i\) 的最小质因子。那么也就是说原来的 \(i\) 中没有 \(p_j\) 这个约数，所以把 \(p_j \times i\) 分解质因数后应该有一项是 \(p_j^1\)，剩下的是原来 \(i\) 分解质因数的结果。根据约数个数的公式，将所有的指数加 \(1\) 后连乘，那么就应该在原来 \(\sigma_0(i)\) 的基础上 \(\times (1+1)\)，所以 \(\sigma_0(p_j \times i) = 2 \times \sigma_0(i)\)。
int p[N]; // p[i] 表示第 i 个质数
bool st[N]; // st[i] 表示 i 是否是质数
int d[N]; // d[i] 表示 σ0(i) 的值
int num[N]; // num[i] 表示 i 的最小质因子出现次数
void prime(int n)
{
d[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) p[ ++ cnt] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
for (int j = 1; p[j] <= n / i; j ++ )
{
st[p[j] * i] = 1;
if (i % p[j]) num[i * p[j]] = 1, d[i * p[j]] = d[i] * 2; // p[j] 不是 i 的最小质因子
else // p[j] 是 i 的最小质因子
{
num[i * p[j]] = num[i] + 1, d[i * p[j]] = d[i] / （num[i * p[j]] + 1) * (num[i * p[j]] + 2);
break;
}
}
}
}
莫比乌斯函数 \(\mu(x)\)
https://oi-wiki.org/math/number-theory/mobius/
\(\mu(n) = \left\{\begin{matrix}1 & n = 1\\ 0 & n 含有平方因子\\ (-1)^{本质不同质因子个数} & \mathrm{otherwise} \end{matrix}\right.\)
性质：\(\sum\limits_{d \mid n}\mu(d) = \left\{\begin{matrix} 1 & n=1\\ 0 & n \ne 1\end{matrix}\right.\)
莫比乌斯函数是积性函数，但不是完全积性函数。
求解
\(\Theta(\sqrt n)\) 求一个 \(\mu(n)\)；
\(\Theta(n)\) 求 \(\mu(1) \sim \mu(n)\)：线性筛法：
- 若 \(i\) 是质数，那么 \(i\) 就只有一个质因子 \(i\)，所以 \(\mu(i) = (-1)^1 = -1\)；
- 枚举 \(j\)，找到 \(p_j \times i\)，分两种情况求解 \(\mu(p_j \times i)\)：
- 若 \(i \bmod p_j = 0\)，也就是 \(p_j\) 是 \(i\) 的最小质因子。设 \(q = \dfrac{p_j}i\)，那么显然有 \(p_j \times i = q \times i^2\)，所以 \(p_j \times i\) 就有了一个平方因子，所以 \(\mu(p_j \times i) = 0\)；
- 若 \(i \bmod p_j \ne 0\)，也就是 \(p_j\) 不是 \(i\) 的最小质因子。那么 \(p_j \times i\) 就比 \(i\) 多了一个新的质因子 \(p_j\)，故它的本质不同的质因子个数就多了 \(1\)，所以 \(\mu(p_j \times i) = -\mu(i)\)。
void prime(int n)
{
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) p[ ++ cnt] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 1; p[j] <= n / i; j ++ )
{
st[p[j] * i] = 1;
if (i % p[j]) mu[p[j] * i] = -mu[i]; // p[j] 不是 i 的最小质因子
else // p[j] 是 i 的最小质因子
{
mu[i * p[j]] = 0;
break;
}
}
}
}
欧几里得算法
https://oi-wiki.org/math/number-theory/gcd/#%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95
求 \(\gcd(a, b)\)，辗转相除法。
\(\because\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)
\(\therefore\gcd(b, a \bmod b) = \gcd(a \bmod b, b \bmod (a \bmod b))\)
\(\gcd(a \bmod b, b \bmod (a \bmod b)) = \gcd(b \bmod (a \bmod b), (a \bmod b) \bmod (b \bmod (a \bmod b)))\)
\(\vdots\)
\(\gcd(a, 0) = a\)
回溯得到答案。
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
扩展欧几里得算法
求二元一次方程 \(ax + by = c\) 的解。
裴蜀定理
裴蜀定理：有解当且仅当 \(\gcd(a, b) \mid c\)。
证明：
-
有解当且仅当 \(\gcd(a, b) \mid c\)：
设 \(d = \gcd(a, b),a = k_1d,b = k_2d\)，则 \(ax+by = k_1dx+k_2dy = (k_1x + k_2y)\times d\)。这个数一定是 \(d\) 的倍数。证毕。
-
\(\gcd(a, b)\) 是 \(ax + by\) 的最小整数解：
设 \(d = \gcd(a, b)\)， \(m\) 是 \(ax + by\) 的最小整数解，即 \(ax + by = m\)。接下来从两个方面证明 \(d = m\)。
-
\(m \ge d\)：与上面类似。设 \(a = k_1d,b = k_2d\)，则 \(ax+by = k_1dx+k_2dy = (k_1x + k_2y)\times d = m \ge d\)。
-
\(m \le d\)：因为 \(d \mid a\) 且 \(d \mid b\)，尝试证明 \(m \mid a\) 且 \(m \mid b\)。由于 \(d\) 是最大公约数，所以 \(m \le d\)。
反证法：设 \(m \nmid a\)，则 \(a = km + r, r \in [1, m)\)，则 \(r = a - km\)。因为 \(m = ax + by\)，则 \(r = a - kax - kby\)，即 \(r = a(1 - kx) + b(-ky)\)，即得到一组新的解，使得 \(ax + by = r\)，于 \(m\) 是最小正整数结果矛盾，故 \(m \mid a\)，同理 \(m \mid b\)。
证毕。
-
求解
把这个方程中的 \(a,b\) 带入 \(\gcd(a, b)\) 欧几里得算法中。
\(a_1x_1 + b_1y_1 = c\)
\(a_2x_2 + b_2y_2 = c\)
其中 \(a_2 = b_1,\ b_2 = a_1 \bmod b_1 = a_1 - \left \lfloor \dfrac {a_1}{b_1} \right \rfloor \times b_1\)。
这样第二个式子就变成了 \(b_1x_2 + \left(a_1 - \left \lfloor \dfrac {a_1}{b_1} \right \rfloor \times b_1 \right) \times y_2\)。
整理式子：
\(b_1x_2 + a_1y_2 - \left \lfloor \dfrac {a_1}{b_1} \right \rfloor \times b_1y_2\)
\(a_1y_2 + b_1 \times \left( x_2 - \left \lfloor \dfrac{a_1}{b_1}\right \rfloor \times y_2\right)\)
至此，这个式子与最开始 \(a_2x_2 + b_2y_2 = c\) 变得很像，也就是说如果需要从第二个式子变到第一个式子需要 \(x_1 \leftarrow y_2,y_1 \leftarrow \left( x_2 - \left \lfloor \dfrac{a_1}{b_1}\right \rfloor \times y_2\right)\)。
这是第二层转换到第一层的过程，在这之前如果要求第二个式子需要往下的第三个式子进行推导，那么就需要写递归函数求解了。
当某个 \(y_m = 0\) 时，\(\gcd\) 函数行该返回 \(x_m\)，此时 \(x_m = 1, y_m = \text{任意数}\)，这里 \(y_m = 0\)，返回函数即可。
代码：
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, x, y);
int X = x;
x = y, y = X - a / b * y;
return d;
}
或：
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1; y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
return d;
}
如果 \((x, y)\) 是一组解，那么 \(\left(x + \dfrac bg, y - \dfrac ag \right)\) 也是一组解，其中 \(g \ne 0\)。
求逆元
求 \(x\)，使得 \(xk \equiv 1\pmod p\)。
也就是求 \(x \times k + y \times p = 1\)。
于是就转化成了二元一次方程，求的是 \(x\) 在 \([0, p - 1]\) 区间内的一个解。
这个方法对 \(p\) 的素性没有要求。
int inv(int a, int b)
{
int x, y, d = exgcd(a, b, x, y);
if (d == 1) return (x % b + b) % b;
else return -1;
}
筛质数
https://oi-wiki.org/math/number-theory/sieve/
- 埃氏筛：\(\Theta(n\times \ln(n))\)。
从小到大枚举每一个数字，如果之前被筛掉了，那么不是质数，否则就是质数。
无论当前的 \(i\) 是不是质数，枚举已经筛出来的每一个质数 \(pm_j\)，把 \(i \times pm_j\) 筛掉，直到 \(i \times pm_j\) 大于上街 \(n\) 或者质数枚举完毕结束。
这个筛法从来不用。
- 线性筛：\(\Theta(n)\)。
对于每一个数字 \(x\)，仅在 \(pm_{j'}\times i'\) 的时候被筛掉，其中 \(pm_{j'}\) 是 \(x\) 的最小质因数。
在枚举 \(pm\) 的时候，加一句判断，如果 \(pm_j \mid i\)，那说明 \(i\) 的最小质因子为 \(pm_j\)，之后再枚举 \(pm\) 就不满足要求了，直接 break。
int p[N];
bool st[N];
void prime(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) p[ ++ cnt] = i;
for (int j = 1; p[j] <= n / i; j ++ )
{
st[p[j] * i] = 1;
if (i % p[j] == 0) break;
}
}
}
扩展
线筛除了可以筛质数，还可以筛一类满足条件的函数。
- \(f(1),f(pm)\) 可以直接求（\(pm\) 指任意一个质数）；
- 设 \(pm_{j'}\) 为 \(x\) 的最小质因子，\(pm_{j'}\times i' = x\)。
那么已知 \(f(pm_{j'})\) 和 \(f(i')\) 可 \(\Theta(1)\) 或 \(\Theta(\log n)\) 求出 \(f\) 值。
中国剩余定理 CRT
https://oi-wiki.org/math/number-theory/crt/
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
给定 \(a_i, p_i\)，其中 \(p_i\) 两两互质，求 \(x\)，满足：
定义一个 \(b\) 数组，\(b_i \equiv \left\{\begin{matrix} a_i & \pmod{p_i}\\ 0 & \pmod{p_{j \ne i}}\end{matrix}\right.\)。
显然 \(x = \sum\limits_{i=1}^n b_i\)。
我们可以这样得到一个 \(b_i\)：\(\dfrac P {p_i} \times a_i \times \left( \dfrac P {p_i} \right) ^{p_i-2}\)，其中 \(P = \prod\limits_{i=1}^n p_i\)。
\(b_i\) 可能很大，对 \(P\) 取模。
时间复杂度 \(\Theta(n \log n)\)。
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0;
return;
}
exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
}
signed main()
{
cin >> n;
int M = 1;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
cin >> A[i] >> B[i];
M *= A[i];
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int Mi = M / A[i], ti, x;
exgcd(Mi, A[i], ti, x);
res += B[i] * Mi * ti;
}
cout << (res % M + M) % M;
return 0;
}
扩展中国剩余定理 EXCRT
如果 \(p_i\) 不两两互质，换一个角度分析问题。
求解 \(x\) 实际上是合并方程。最终得到：
如果能把两个式子 \(x \equiv a_1 \pmod {p_1}\) 和 \(x \equiv a_2 \pmod {p_2}\) 合并成 \(x \equiv a_{12} \bmod p_{12}\)，那么就可以用一般方法不断地合并两个方程，直到仅剩一个方程，得到答案。其中 \(p_{12} = \mathrm{lcm}(p_1, p_2) \ne p_1p_2\)，\(a_{12}\) 是原方程组的任意一个特解。
如何求 \(a_{12}\)？
- \(x \equiv a\pmod p \Longleftrightarrow x = a + kp(k \in \mathbb{Z})\)
- \(\left\{\begin{matrix}x \equiv a_1 \pmod {p_1}\\x \equiv a_2 \pmod {p_2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix} x = a_1 + k_1p_1\\x = a_2 + k_2p_2\end{matrix}\right.\)
- \(k_1p_1 - k_2p_2 = a_2 - a_1\)
根据裴蜀定理，上式有解当且仅当 \(\gcd(p_1, p_2) \mid a_2 - a_1\)。
扩欧求出 \(k_1\) 特解，带入得到 \(x\) 特解记为 \(a_{12}\)。
然后不断将方程两两合并即可找到 \(x\)。
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) // 扩展欧几里得算法, 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
{
if (!b)
{
x = 1; y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
return d;
}
int a1, m1; // 现有方程
int a2, m2; // 读入的方程
int k1, k2; // 系数
int d; // 最大公约数
int t;
signed main()
{
cin >> n >> a1 >> m1;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
cin >> a2 >> m2;
d = exgcd(a1, a2, k1, k2);
if ((m2 - m1) % d) // 裴蜀定理，判断是否无解
{
puts("-1");
return 0;
}
k1 *= (m2 - m1) / d; // 把 k1a1 - k2a2 = m2 - m1 翻成 k1a1 - k2a2 = d
t = a2 / d;
k1 = (k1 % t + t) % t;
m1 = a1 * k1 + m1;
a1 = abs(a1 / d * a2);
}
cout << (m1 % a1 + a1) % a1;
return 0;
}
