数位 DP

引入

一般数位 DP 的题目是这样的：

有一个返回值为 bool 类型的函数 $f(x)$。这个函数一般是跟 $x$ 的数位有关的。

给定 $l,r$，求 $l\sim r$ 中有多少 $x$ 的 $f(x)$ 为真。

$l,r\le {10}^{18}$。

典型的例子是 windy 数：

求 $l\sim r$ 中有多少个数，满足其不含前导零且相邻两个数字之差至少为 $2$。

前置

我们回顾一下如何比较两个数 $a,b$ 的大小。

下面定义 $g_j(i)$ 表示 $i$ 的第 $j$ 个十进制位（从右往左数，从 $0$ 开始）是多少。例如 $g_2(114514)=5$。

• $a=114$ 和 $b=99$：
  • $g_2(a)=1$，$g_2(b)=0$。所以 $a>b$。
  • 这告诉我们位数多的数大。
• $a=919$，$b=114$：
  • $g_2(a)=9$，$g_2(b)=1$。所以 $a>b$。
  • 这告诉我们最高位大的数大。
• $a=191$ 和 $b=114$：
  • $g_2(a)=g_2(b)=1$，不能判断。
  • $g_1(a)=9$，$g_1(b)=1$。所以 $a>b$。
  • 这告诉我们在最高位相同的情况下，次高位大的数大。
• $a=119$，$b=114$：
  • $g_2(a)=g_2(b)=1$，不能判断。
  • $g_1(a)=g_1(b)=1$，不能判断。
  • $g_0(a)=9$，$g_0(b)=4$。所以 $a>b$。
  • 这告诉我们在最高位、次高位相同的情况下，第三高的位大的数大。
• 依次类推。

所以呢？这告诉我们这样一个事情：

• 对于数 $a$，如果一个数 $b$ 的最前面几位与 $a$ 相同，接下来的一位比 $a$ 小，那么剩下的位不管是 $0\sim 9$ 都能保证 $a>b$。

例如，在 $a=114514$，$b=113999$ 时，有这样几个关系：

• $g_5(a)=g_5(b)$；
• $g_4(a)=g_4(b)$；
• $g_3(a)>g_4(b)$；
• $g_2(b)\in [0,9]$；
• $g_1(b)\in [0,9]$；
• $g_0(b)\in [0,9]$；

这个东西是很显然的，但很关键。

分析

回到题目。我们利用前缀和的思想，转化成求 $f(x)$ 表示 $1\sim x$ 中有多少满足条件的数，也就是有多少比的小于等于 $x$ 的数满足条件。那么答案为 $f(r)-f(l-1)$。

那么问题就来到了 $f(x)$ 上。

接下来，我们令 $y$ 表示一个比 $x$ 小的数，$a_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 个十进制位，$b_i$ 表示 $y$ 的第 $i$ 个十进制位，$cnt$ 表示其位数。例如 $x=114514$ 时 $a_{1\sim 6}=\{4,1,5,4,1,1\}$。

上面提到，如果 $x>y$，那么一定存在一个整数 $k\in [1,cnt]$，使得：

• 若 $k\le i\le cnt$，$a_i=b_i$；
• $a_k>b_k$；
• 若 $1\le i<k$，$b_i\in [0,9]$。

那么这启发我们可以枚举使得 $a_k>b_k$ 的 $k$，然后计算答案。这样做我们就将 $1\sim x-1$ 的数分成了 $cnt$ 类。然后单独计算 $x$ 是否合法即可。

接下来要做的事情需要根据题目分析。以 windy 数为例。

首先枚举 $k$，再枚举 $b_k\in [0,a_k-1)$。我们需要让相邻两个数字之差至少为 $2$。此时，我们已经知道了 $b_{k+1}=a_{k+1}$，所以此时可以之间判断枚举的 $b_k$ 是否合法，即是否满足 $|a_{k+1}-b_k|\ge 2$。

如果满足，那么问题就变成了：

有多少个 $k$ 位数，其最高位为 $b_k$，并且满足相邻两个数字之差至少为 $2$。其中 $k$ 和 $b_k$ 是给定的。

这个可以直接预处理 DP。设 $f_{i,j}$ 表示有多少个 $i$ 位数的最高位为 $j$。那么转移：

$$f_{i,j}=\sum _{0\le k\le 9,|j-k|\ge 2}{f}_{i-1,k}$$

边界 $f_{1,i}=1$。