数位 DP

引入

一般数位 DP 的题目是这样的：

有一个返回值为 bool 类型的函数 \(f(x)\)。这个函数一般是跟 \(x\) 的数位有关的。

给定 \(l, r\)，求 \(l \sim r\) 中有多少 \(x\) 的 \(f(x)\) 为真。

\(l, r \le 10^{18}\)。

典型的例子是 windy 数：

求 \(l \sim r\) 中有多少个数，满足其不含前导零且相邻两个数字之差至少为 \(2\)。

前置

我们回顾一下如何比较两个数 \(a, b\) 的大小。

下面定义 \(g_j(i)\) 表示 \(i\) 的第 \(j\) 个十进制位（从右往左数，从 \(0\) 开始）是多少。例如 \(g_{2}(114514) = 5\)。

• \(a = 114\) 和 \(b = 99\)：
  • \(g_2(a) = 1\)，\(g_2(b) = 0\)。所以 \(a > b\)。
  • 这告诉我们位数多的数大。
• \(a = 919\)，\(b = 114\)：
  • \(g_2(a) = 9\)，\(g_2(b) = 1\)。所以 \(a > b\)。
  • 这告诉我们最高位大的数大。
• \(a = 191\) 和 \(b = 114\)：
  • \(g_2(a) = g_2(b) = 1\)，不能判断。
  • \(g_1(a) = 9\)，\(g_1(b) = 1\)。所以 \(a > b\)。
  • 这告诉我们在最高位相同的情况下，次高位大的数大。
• \(a = 119\)，\(b = 114\)：
  • \(g_2(a) = g_2(b) = 1\)，不能判断。
  • \(g_1(a) = g_1(b) = 1\)，不能判断。
  • \(g_0(a) = 9\)，\(g_0(b) = 4\)。所以 \(a > b\)。
  • 这告诉我们在最高位、次高位相同的情况下，第三高的位大的数大。
• 依次类推。

所以呢？这告诉我们这样一个事情：

• 对于数 \(a\)，如果一个数 \(b\) 的最前面几位与 \(a\) 相同，接下来的一位比 \(a\) 小，那么剩下的位不管是 \(0 \sim 9\) 都能保证 \(a > b\)。

例如，在 \(a = 114514\)，\(b = 113999\) 时，有这样几个关系：

• \(g_5(a) = g_5(b)\)；
• \(g_4(a) = g_4(b)\)；
• \(g_3(a) > g_4(b)\)；
• \(g_2(b) \in [0, 9]\)；
• \(g_1(b) \in [0, 9]\)；
• \(g_0(b) \in [0, 9]\)；

这个东西是很显然的，但很关键。

分析

回到题目。我们利用前缀和的思想，转化成求 \(f(x)\) 表示 \(1 \sim x\) 中有多少满足条件的数，也就是有多少比的小于等于 \(x\) 的数满足条件。那么答案为 \(f(r) - f(l - 1)\)。

那么问题就来到了 \(f(x)\) 上。

接下来，我们令 \(y\) 表示一个比 \(x\) 小的数，\(a_i\) 表示 \(x\) 的第 \(i\) 个十进制位，\(b_i\) 表示 \(y\) 的第 \(i\) 个十进制位，\(cnt\) 表示其位数。例如 \(x = 114514\) 时 \(a_{1 \sim 6} = \{4, 1, 5, 4, 1, 1\}\)。

上面提到，如果 \(x > y\)，那么一定存在一个整数 \(k \in [1, cnt]\)，使得：

• 若 \(k \le i \le cnt\)，\(a_i = b_i\)；
• \(a_k > b_k\)；
• 若 \(1 \le i < k\)，\(b_i \in [0, 9]\)。

那么这启发我们可以枚举使得 \(a_k > b_k\) 的 \(k\)，然后计算答案。这样做我们就将 \(1 \sim x - 1\) 的数分成了 \(cnt\) 类。然后单独计算 \(x\) 是否合法即可。

接下来要做的事情需要根据题目分析。以 windy 数为例。

首先枚举 \(k\)，再枚举 \(b_k \in [0, a_k - 1)\)。我们需要让相邻两个数字之差至少为 \(2\)。此时，我们已经知道了 \(b_{k + 1} = a_{k + 1}\)，所以此时可以之间判断枚举的 \(b_k\) 是否合法，即是否满足 \(|a_{k + 1} - b_k| \ge 2\)。

如果满足，那么问题就变成了：

有多少个 \(k\) 位数，其最高位为 \(b_k\)，并且满足相邻两个数字之差至少为 \(2\)。其中 \(k\) 和 \(b_k\) 是给定的。

这个可以直接预处理 DP。设 \(f_{i, j}\) 表示有多少个 \(i\) 位数的最高位为 \(j\)。那么转移：

\[f_{i, j} = \sum_{0 \le k \le 9, |j - k| \ge 2} f_{i - 1, k} \]

边界 \(f_{1, i} = 1\)。