杜教筛 1

这是一个比较好理解的一个亚线性筛法
用处是求一个形如$S(n)=\sum _{x=1}^{n}f(x),f(x)$积性函数这样一个东西

前置知识

狄利克雷卷积

定义数论函数的狄利克雷卷积长这样
$(f\ast g)(n)=\sum _{x|d}f(x)\cdot g(\frac{n}{x})$

一些常见的积性函数以及一些卷积

$\mu \ast 1=ϵ$
$\mu \ast id=\phi$
$\phi \ast 1=id$

莫比乌斯反演

先去做几道题，容易更好看出这个东西咋搞的

构造原理

我们首先找到一个合适的$g$函数
具体就是可以快速求出$f\ast g$的前缀和
然后接下来变换这个东西
拆卷积
$\sum _{x=1}^n(f\ast g)(x)=\sum _{x=1}^n\sum _{y|x}g(x)\cdot f(y)$
换形式
$\sum _{x=1}^n(f\ast g)(x)=\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor }g(x)\cdot f(y)$
提前
$\sum _{x=1}^n(f\ast g)(x)=\sum _{x=1}^{n}g(x)\sum _{y=1}^{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor }f(y)$
后面就是$S(\lfloor \frac{n}{x}\rfloor )$
$\sum _{x=1}^n(f\ast g)(x)=\sum _{x=1}^{n}g(x)\cdot S(\lfloor \frac{n}{x}\rfloor )$
考虑$x=1$的时候分离这一项，这样就有$S(n)$了
$\sum _{x=1}^n(f\ast g)(x)=g(1)\cdot S(n)+\sum _{x=2}^{n}g(x)\cdot S(\lfloor \frac{n}{x}\rfloor )$
移项，会有
$g(1)\cdot S(n)=\sum _{x=1}^n(f\ast g)(x)-\sum _{x=2}^{n}g(x)\cdot S(\lfloor \frac{n}{x}\rfloor )$
前面那个$f\ast g$是能快速算出来的，后面递归整除分块做即可
时间复杂度$O(n^{\frac{3}{4}})$