欧拉函数&欧拉定理

欧拉定理其实就是这么一句话：

$$gcd(a,n)=1\to a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

然后欧拉函数$\phi (n)$表示小于等于$n$的数中和$n$互质的数的个数
性质：
1.积性函数：
即$gcd(a,b)=1\to \phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$
从这个定义和组合意义上来说，$\phi$这个函数显然是积性的
因为和$a\cdot b$互质是和$a,b$同时互质的充要条件，稍微思考不难理解
对于积性函数$f$，总有$gcd(a,b)=1\to f(ab)=f(a)f(b)$
这是定义的逆用
2.$n=\sum _{d|n}\phi (d)$

3.若$n=p^k$,$p$为质数，则$\phi (n)=p^k-p^{k-1}$
如果一个数和n不互质，那么p为两者最大公约数的约数，反之显然。
所以我们只需要找到$n$以内有多少个数被$p$整除，减一下就有了

单个数的求法：
考虑把p分解质因数，然后用性质三可以知道每个$\phi (p^k)$
根据积性函数的性质，$\phi (n)=\phi (\prod (p_i^{k_i}))=\prod \phi (p_i^{k_i})$

蓝书上还有一个公式可以直接用

点击查看代码

int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

如果涉及到一堆数，建议使用线性筛，主要使用性质一：

点击查看代码

// C++ Version
void pre() {
  memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime));
  int cnt = 0;
  is_prime[1] = 0;
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 5000000; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[++cnt] = i;
      phi[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 5000000; j++) {
      is_prime[i * prime[j]] = 0;
      if (i % prime[j])
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
      else {
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
        break;
      }
    }
  }
}

低于线性的积性函数求法不在$NOIPtg$范围以内
但是也不是不学
顺便说一句，见到积性函数求一堆值想线性筛
~~别tmd再拿个埃筛硬干被卡内存痛失$100pts$了~