差分约束 1

//去你妈的，关于$SPFA$，它活了

原理

其实$SPFA$就是干这玩意的
由于差分约束的标准形式$$x_i-x_j\le b$$
和最短路的三角不等式极为相似，(三角不等式是$Bellman-Ford$最短路算法原理)
于是考虑直接建图跑最短路

建图

我学的建图方式是：
对于$x_i-x_j\le b$这个式子：
连一条$j\to i$的有向边，边权为$b$
这种建图方式配套的源头是$n$
为防止不连通，肯定是要建一个超级源点$n+1$
对于每一个点要建出有向边$n+1\to i$，边权为$0$

判解

如果无解，跑最短路表现出来是有负环
这个时候使用$SPFA$判一下有无负环即可
但是如果要找解，就得从出发点做一遍$SPFA$

转化

就是不一定所有的差分约束不等式都是标准形式
所以对于每种不同的差分约束还需要特殊判断
$x_i+b=x_j$等价于$x_i-x_j\le -b\text{and}{x}_j-x_i\le b$
$x_i+b\ge x_j$等价于$x_i-x_j\le -b\text{and}{x}_j-x_i\le b$
$x_i+b<x_j$等价于$x_i-x_j\le b-1$
$x_i+b>x_j$等价于$x_j-x_i\le b-1$