概率&期望 1

一般这个东西有如下若干种思考思路

1.直接对概率/期望考虑 DP 设好阶段状态决策和状态转移方程即可

2.如果分母是比较好算的，可以考虑对分子进行计数

3.如果都比较好算，那么可以直接列式子算，也就是一个推式子的题目

概率

一般考虑 “在条件 B 的前提下发生事件 A” 的概率为 \(P(A|B)\)

此为条件概率，那么有定义

\[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]

即 “在条件 B 的前提下发生事件 A” 的概率为 “AB同时发生的概率” 除以 “B发生的概率”

我们考虑若干个互斥事件 \(B\)，满足 \(\sum P(B)=1\)

则有全概率公式

\[P(A)=\sum P(AB)=\sum P(A|B)P(B) \]

这个给我们提供列写状态转移方程的依据

一般而言 \(A\) 包含的就是阶段和状态，\(A|B\) 即表示转移

只不过这个“转移”在这里表现不是所谓“最优化的决策”而是“决策发生的概率”

期望

我们通常可以用期望的性质做如下事情

1.期望的线性性

我们可以证明 \(E(aX+bY+c)=aE(x)+bE(Y)+c\)

这个东西有如下几个应用：

把一个事件拆成若干独立的事件来算

把一个贡献 \(b\) 拆成别的来算

2.类似于全概率公式，我们仍然能有类似的公式表示为

\(E(X)=\sum P(Y)E(Y)\)

这个是说，\(X\) 的期望是 \(X\) 所有后继情况期望 的期望

也就是所谓 \(E(E(X|Y))=E(X)\)，即全期望公式

这个比较经典的是正推和逆推，

一般而言如果初始情况不止一种的话就需要把初始情况当成边界条件跑类似于记搜的转移

3.概率的容斥

一个随机变量 \(X\) 有 \(P(X=k)=P(X\leq k)-P(X\leq k+1)\)

这个式子先在这里放着不用动