数据结构优化DP

有些时候状态转移的时候一堆候选决策不知道怎么办？
使用循环？会T飞的！
维护决策单调性？会出错的！
倍增/状压？离正解远了！
剩下的只有这一个优化方式了：

数据结构优化DP

有些决策暴力查询复杂度很炸，不过放到数据结构题就是板子
这个时候，我们就可以写一个数据结构，查询决策就相当于查询
这样的话查询决策的开销就可以降低了！

来几个题？

AHOI2006 基因匹配

这个题60部分分给到的是$O(n^2)$的LCSDP
考虑优化一下下：
$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1],f[i-1][j-1]+(a[i]==b[j]))$
这里给到的每个数出现5次是关键特殊性质，
记录每个$i$在a的位置，对于b来说这几个位置是发生转移的位置
在b中，状态转移方程就变成了:
$f[pos[x][j]]=max(f[i]+1),i\in [1,pos[x][j]-1]$
这里就可以用维护区间最值的数据结构维护了
特殊性质:$i\in [1,x],x\in Z$，树状数组搞一下就行
直接压到$O(nlogn)$

USACO Cleaning Shifts

线段覆盖问题上数据结构优化
状态转移方程：
$f[r]=min(f[r],min(f[x]+w)),x\in [l-1,r]$
快速维护$min(f[x])+w$,这里手段就很多了
线段树维护区间最值

NOI1998 免费馅饼

加强版 $N=1e5$

状态转移方程很好列：
$f[i]=max(f[i],f[j]+1),\mathrm{\forall }j,|P_i-P_j|\in [0,2\ast (t_i-t_j)]$
但是暴力转移是$O(n^2)$的，$N=1e5$
考虑优化
状态干不动，决策干不动，转移条件？
拆成一个不等式组
$\{\begin{array}{l}{p}_i-2t_i<p_j-2t_j,p_i<p_j\\ p_i+2t_i>p_j+2t_j,p_i>p_j\end{array}$
然后按第一个式子升序，第二个开树状数组维护就行了

独特序列

就是树状数组维护前缀和这种东西
首先推个计数方程
首先就是把所有的序列都在后边插上一个$a_i$
然后会发现，就是在上一个$a_i$出现的位置(记为$las{t}_{a_i}$)之前的会算重，扣掉即可
于是我们上树状数组维护前缀和
考虑修改$las{t}_{a_i}$位置的情况防止算重
我们需要把这个位置减掉(它的前缀和减掉它前面的前缀和)
这样在扣掉$las{t}_{a_i}$以前的位置的时候，我们由于这个位置还有前面的东西算上
然后只是扣掉了$las{t}_{a_i}$的影响，就不重不漏了