Counting 1

这一部分主要是讲一些数数的东西
主要就是打表发现规律再实现这一些内容

Part 1 计数的原理

1.加法原理 &乘法原理

假设一个人穿衣服，有两种穿法:
$1.$从$n$件大衣中选一件穿上
$2.$从$x$条毛衣中选一件，再从$y$件羽绒服上选一件穿
问1和2的方案数
对于1，每一件大衣都是独立的一类，应当用加法原理得出方案数为$n$
对于2：
法一：所有的$x$相互独立，首先可以对每一个$x_i$用加法原理得出为$y$，然后再用加法原理得总数为$xy$
法二：显然的分步，直接乘法原理$xy$即可

加法原理适用于每一种决策都是独立的一类，乘法原理适用分步的情况

2.排列&组合

记$A_m^n$为$m$个数中选$n$个数组成排列的方案数
记$C_m^n$为$m$个数中选$n$个数组成组合的方案数

计算式：
$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$
$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

算组合的时候，相同元素的不同排列视为同一种组合，这里容易出现算多或者算少的情况
注意可重与否，这里问题不大

3.容斥原理

可以画个$Venn$图方便理解一下
就是先找个全集，然后在全集里把不同情况划分成不同的集合，然后排除掉全集中不合法的集合
可能不合法的集合中某些集合存在交集，要把这些交集再加回来
可能上述多的交集里有些交集被加多了，然后再排除掉
......
容斥原理这一块答案多或少差不多都是多扣少扣这些，难以理解就画个$Venn$图

Part 2 特殊性质

1.二项式定理

$(a+b{)}^2=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{a}^{n-i}{b}^i$
用这个式子可以出一些非常神仙的东西

2.组合数性质&二项式推论

1.$C_n^m=C_n^{n-m}$
把$n$选$m$变$n$排$m$，都是等价的转化
如果发现$n$和$m$的差值为常数可以变形成$n$取常数的组合数然后再化简

2.$C_n^k=\frac{n}{k}{C}_{n-1}^{k-1}$
这里是用计算式导出的递推式
没见过这么用的，先记一下

3.$C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$
杨辉三角
尝试用这玩意优化但是失败了

4.$\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n$
二项式定理：取$a=b=1$即可
这玩意是非常好用的，不过也没见到

5.$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{C}_n^i=[n=0]$
二项式定理：取$a=1,b=-1$即可
特殊情况就是$n=0$，原式为1

6.$\sum _{i=0}^m{C}_n^i{C}_m^{m-i}=C_m^{m+n},n⩾m$
没见过，不太会证
好像是维护数据结构的一个非常快的东西

7.$\sum _{i=0}^n{C_n^i}^2=C_n^{2n}$
6的特殊情况，$n=m$时把后一项用1换掉就是这个式子

Part 3 常见类型处理

错排

$f[n]=(n-1)(f[n-1]+f[n-2])$
$n-1$递推，
第一种全部装错是$f[n-1]$,第$n$项和前边随便换还是错排，乘法原理$(n-1)f[n-1]$
第二种有一个对的是$(n-1)f[n-2]$(分别让某一位对别的错就行),第$n$项和对的换就是错排，加法原理$(n-1)f[n-2]$
再加法原理就是这个式子

圆排

断环成链有$n$种位置
所以1个圆排可以形成$n$个链排
直接用除法去重就是
$Q_n^m=\frac{A_n^m}{m}=\frac{n!}{m·(n-m)!}$

不相邻

$C_{n-k+1}^k$