tg 91 solution

T1

首先对于每种颜色，
找出所有灯同时亮这种颜色的最小时间，
直接加上一个最小正周期就是所有灯亮同一种颜色的时间了

然后你可以把每种颜色对应的同时亮的时间 $t$ 写成线性同余方程组的形式
模数是每个灯的周期，余数是这个颜色在这个循环的位置
然后exCRT解一下就没了，模不一定互质嗷
记得特判无解

后续过程还要计算这个灯对答案贡献
考虑差分，算 $[0, r]$ 减掉 $[0, l - 1]$
记最小正周期 $T$ ，其实就是所有模数的最小公倍数
$[0, r]$ 所有时刻就是 $⌊ \frac{r}{T} ⌋ + [t \leq r mod T],$
后面那个是艾佛森括号，就是bool变量的意思

~~不知道我是在什么样的精神状态下认为这个东西是 $O (n^{2})$ 的~~

T2

单算一个质数，然后乘法原理合并

考虑对每个数先除掉 $x$
记当前质数为 $p_{i}$ ， $n o w = b_{i} - a_{i}$
则考虑选的范围就是 $[0, n o w],$ 并且 $\exist i \in [1, n], i = 0 & \exist i \in [1, n], i = n o w$

直接数不太好数，考虑容斥
我们首先让每个数任意，当做全集 $S$ ，
每个数有 $| [0, n o w] | = n o w + 1$ 种选择，于是有 $| S | = (n o w + 1)^{n}$
考虑强制不出现 $0$ ，每个数有 $| [1, n o w] | = n o w$ 中选择，于是有 $| S_{1} | = n o w^{n}$
强制不出现 $n o w$ 同理，于是有 $| S_{2} | = n o w^{n}$

这之中去掉两次 $S_{3},$ 即在任意选择 $[1, n o w)$ 任意选择
考虑再加上这一部分即可，这一部分 $| S_{3} | = (n o w - 1)^{n}$

一个质数的贡献就是 $| S | - | S_{1} | - | S_{2} | + | S_{3} |$ ，乘一块就没了

T3

发现差分就是组合数
然后就转换成这个东西
$\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{i}{j})$
后面直接换掉，没看明白右转OI-Wiki
$\sum_{j = 0}^{m} (\binom{n + 1}{j + 1})$
下标加个 $1$ ，同时考虑整洁我们要再来一个 $k = 0$
于是我们就要减掉一个新加的 $(\binom{n + 1}{0})$
$\sum_{j = 0}^{m} (\binom{n + 1}{j}) - 1$

其实这个形式和给的 $f_{n, m}$ 很像，我们考虑研究那玩意
$f_{n, m} = \sum_{i = 0}^{m} (\binom{n}{i})$
考虑到模数不大，先一个Lucas定理
$\sum_{i = 0}^{m} (\binom{⌊ \frac{n}{p} ⌋}{⌊ \frac{i}{p} ⌋}) (\binom{n mod p}{i mod p})$
按模数和余数分类，后面加的那一项是 $m$ 除不尽剩下的
$\sum_{i = 0}^{⌊ \frac{m}{p} ⌋ - 1} (\binom{⌊ \frac{n}{p} ⌋}{⌊ \frac{i}{p} ⌋}) \sum_{j = 0}^{p - 1} (\binom{n mod p}{j}) + (\binom{⌊ \frac{n}{p} ⌋}{⌊ \frac{m}{p} ⌋}) \sum_{i = 0}^{m mod p} (\binom{n mod p}{i})$

然后你发现这一项形式 $\sum_{i = 0}^{⌊ \frac{m}{p} ⌋ - 1} (\binom{⌊ \frac{n}{p} ⌋}{⌊ \frac{i}{p} ⌋})$ 确实不错，这不就是 $f$ 吗，换了

$f_{⌊ \frac{n}{p} ⌋, ⌊ \frac{m}{p} ⌋ - 1} \cdot \sum_{j = 0}^{p - 1} (\binom{n mod p}{j}) + (\binom{⌊ \frac{n}{p} ⌋}{⌊ \frac{m}{p} ⌋}) \sum_{i = 0}^{m mod p} (\binom{n mod p}{i})$