tg 90 solution

T1

其实不用管那个傻逼整除
那个东西如果当前大于根号就直接等到根号
否则直接按当前边权过
还有边权这个东西它不是单谷的
所以暴扫可能提前结束
还有，三分好像是假的

不知道我是在什么样的精神状态下写的暴扫

T2

对每条边端点分情况讨论

$1.u,v$本来在同一个强连通分量，翻转$(u,v)$后不在了
这个时候要求$v$能到$u$并且$(u,v)$这条边是$u\to v$的必经边
此时，强连通分量数目$+1,$因此询问这条边答案是diff

$2.u,v$本来不在同一个强连通分量，翻转$(u,v)$后就在了
这个时候要求$v$到不了$u$并且$(u,v)$这条边不是$u\to v$的必经边
此时，强连通分量数目$-1,$因此询问这条边答案是diff

$3.u,v$本来不在同一个强连通分量，翻转$(u,v)$后还是不在
这个时候要求$v$到不了$u$并且$(u,v)$这条边是$u\to v$的必经边
此时，强连通分量数目不变,因此询问这条边答案是same

$4.u,v$本来在同一个强连通分量，翻转$(u,v)$后还是在
这个时候要求$v$能到$u$并且$(u,v)$这条边不是$u\to v$的必经边
此时，强连通分量数目不变,因此询问这条边答案是same

于是我们只需要讨论
$1.v$能不能到$u$
$2.(u,v)$是不是$u\to v$的必经路径

$1.$的话显然可以每个点搜一遍预处理出来，
$2.$的话其实和做无向图染色是差不多的

T3

设$f_i$表示$m$个数都在$[1,i]$范围选，并且$gcd(a_1,a_2,...,a_m)=1$的方案数
则答案$ans=\sum _{x=1}^n{f}_{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=x]$

考虑先对$f_i$做递推
$f_i=i^m-\sum _{j=2}^i{f}_{\lfloor \frac{i}{j}\rfloor }$
稍微解释一下
$f_{\lfloor \frac{i}{j}\rfloor }$，事实上就是我们在$[1,i]$范围选,让$gcd(a_1,a_2,...,a_m)=j$时候的方案数
因为每个方案都是本质不同的排列，并且最后有$gcd(a_1,a_2,...,a_m)=1$成立
我们考虑这个时候对每个元素都乘上$i$并且不超过值域，即为让$gcd(a_1,a_2,...,a_m)=j$时候的方案数
这个时候要求每个数都是$j$的整倍数并且值域不能过$i$，
所以每个元素的上界都是$j\cdot \lfloor \frac{i}{j}\rfloor$
然后对于每个元素都除一个$j$就是$\lfloor \frac{i}{j}\rfloor$
不减掉$1$那一块的原因就不说了吧？

然后再处理后面那个$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=x]$
这个很好搞啊？
如果学过莫比乌斯反演，这种东西一眼$\sum _{d=1}^{n/x}\mu (d)\lfloor \frac{n}{dx}{\rfloor }^2$
但是到这里以后没推明白
换成欧拉函数就是仪仗队，然后直接$2\cdot \sum _{d=1}^{n/x}\phi (d)-1$
放一块就是
$\sum _{d=1}^n{f}_{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\cdot (2\cdot \sum _{d=1}^{n/x}\phi (d)-1)$

但是我们要过$n={10}^9,$杜教筛
发现$f$长得就像杜教筛的那个式子，直接筛了
然后$\phi$数论函数，凑个$1$换成$id$直接筛就完了
最后外边套个整除分块就做完了

T4

鸽了