tg 74 solution

tg 74 solution

T1

暴搜题

这个sb在赛时打了个垃圾暴搜

事实上你打个表就可能会发现结论

下面给出一个构造方案并给出严谨证明

就是首先两个数组分别填上$1$和$2$

然后每次考虑从$i-1\to i$

新增的部分考虑将对方复制然后加上$2^i$接在自己的后面

给出证明：

设当前答案数组$a,b$

显然$n=1$的时候，我们的初始答案是合法的

即$\mathrm{\forall }p\in [0,n),\sum _{i=1}^p{a}_i^p=\sum _{i=1}^p{b}_i^p$

假设$n=t,t\in N_{+}$的时候,记$size=2^t$，

$\mathrm{\forall }p\in [0,t),\sum _{i=1}^p{a}_i^p=\sum _{i=1}^p{b}_i^p$

此时$:n\to t+1,$

$\mathrm{\forall }i\in [size+1,2\cdot size),a_i\leftarrow b_{i-size}+2^t,b_i\leftarrow b_{i-size}+2^t$

$\sum _{i=size+1}^{2\cdot size}{a}_i^p=\sum _{i=1}^{size}(b_i+2^t{)}^p$

$\sum _{i=size+1}^{2\cdot size}{a}_i^p=\sum _{i=1}^{size}\sum _{j=1}^p{C}_p^j{b}_i^j$

此时我们提出组合数

$\sum _{i=size+1}^{2\cdot size}{a}_i^p=\sum _{j=1}^p{C}_p^j\sum _{i=1}^{size}{b}_i^j$

同理，把$\sum _{i=size+1}^{2\cdot size}{b}_i^p$换掉，有

$\sum _{i=size+1}^{2\cdot size}{b}_i^p=\sum _{j=1}^p{C}_p^j\sum _{i=1}^{size}{a}_i^j$

不巧的是$,\mathrm{\forall }p\in [0,t),\sum _{i=1}^p{a}_i^p=\sum _{i=1}^p{b}_i^p$

于是$p=[0,t)$的部分就结束了

然后就是如果$p=t$的话两边式子做个差，

你会发现两个最高次项消没了，于是剩下的又是系数相等，

于是就证完了

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T2

"zazheng"

"zuotianhackwo" "jintiannihailai"

首先记$S_i=\{V^{\prime }，E^{\prime }\},V^{\prime }=[1,i],\mathrm{\forall }(u,v)\in E^{\prime },u\in V^{\prime },v\in V^{\prime }$

显然的$,\mathrm{\forall }i,S_i\in G$对吧

事实上，我们只需要知道$S_i$和$S_{i-1}$

就可以知道$i$和$[1,i-1)$中的点连了多少条边

事实上，记$f(x)$表示$[1,x]$中所有点向$x$连的边数

显然的，$f(x)$随着$x$的增大单调不降，

因为差分的意义就是$x\to i$有没有连边，也不可能出负数......

单调了二分出所有改变点就不难了

对于一次二分的过程是：

一开始$l$是上一个拐点，$r$就是固定右端点

记$mid=\frac{l+r}{2}$

当$f(mid)=f(l)$时，$l\leftarrow mid+1$

否则$r\leftarrow mid$

一直二分到$l=r，$此时$l$就是一个和$x$连边的点

显然，$f_{mid}$可以通过询问$V_{mid}\text{or}x$减去$|E_{mid}|$得到,而$|E_{mid}|$可以预处理每次一个询问得到

对于每个点$i$持续进行上述二分即可确定所有边

每条边一次二分，算上预处理，询问次数$n+m\log n$

T3

线段树，

势能分析表明时间复杂度是对的

直接放码了

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define D double 
const int o=2222222,u=43;
const D cosin=0.73908513321516064166;
ifstream fin("excalibur.in");
ofstream fout("excalibur.out");
int n,m,L,R;
D a[o],P[u];
struct SgT{
    D val[o][u];
    int num[o],lazy[o],cov[o];
    void up(int p){
        num[p]=0;
        int ls=p*2,rs=p*2+1;
        for(int i=0,l=num[ls],r=num[rs];i<u;i++){
            val[p][i]=val[ls][l]+val[rs][r];
            l++,r++;
            l=(l==u?0:l);
            r=(r==u?0:r);
        }
    }
    void build(int p,int l,int r){
        if(l==r){
            val[p][0]=a[l];
            for(int i=1;i<u;i++)
                val[p][i]=cos(val[p][i-1]);
            return;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        build(p*2,l,mid);
        build(p*2+1,mid+1,r);
        up(p);
    }
    void down(int p,int l,int r){
        int ls=p*2,rs=p*2+1;
        int mid=(l+r)/2;
        if(cov[p]){
            cov[ls]=cov[rs]=cov[p];
            num[ls]=num[rs]=num[p];
            lazy[ls]=lazy[rs]=0;
            D k=(mid-l+1.0)/(r-l+1.0);
            for(int i=0;i<u;i++)
                val[ls][i]=val[p][i]*k;
            k=1-k;
            for(int i=0;i<u;i++)
                val[rs][i]=val[p][i]*k;
            cov[p]=lazy[p]=0;
        }
        if(lazy[p]>0){
            int t=max(0,min(lazy[p],u-lazy[ls]));
            D v=cosin*(mid-l+1);lazy[ls]+=t;
            for(int i=1,&x=num[ls];i<=lazy[p];i++){
                val[ls][x]=v;x++;
                x=(x==u?0:x);
            }
            t=max(0,min(lazy[p],u-lazy[rs]));
            v=cosin*(r-mid);lazy[rs]+=t;
            for(int i=1,&x=num[rs];i<=lazy[p];i++){
                val[rs][x]=v;x++;
                x=(x==u?0:x);
            }
            lazy[p]=0;
        }
    }
    void cover(int p,int l,int r){
        if(L<=l&&r<=R){
            cov[p]=1;
            lazy[p]=num[p]=0;
            for(int i=0;i<u;i++)
                val[p][i]=P[i]*(r-l+1);
            return;
        }
        down(p,l,r);int mid=(l+r)/2;
        if(L<=mid)cover(p*2,l,mid);
        if(R>mid)cover(p*2+1,mid+1,r);
        up(p);
    }
    void change(int p,int l,int r){
        if(val[p][num[p]]==cosin*(r-l+1))return;
        if(L<=l&&r<=R){
            lazy[p]++;
            val[p][num[p]]=cosin*(r-l+1);
            num[p]++;
            num[p]=(num[p]==u?0:num[p]);
            return ;
        }
        down(p,l,r);int mid=(l+r)/2;
        if(L<=mid)change(p*2,l,mid);
        if(R>mid)change(p*2+1,mid+1,r);
        up(p);
    }
    D ques(int p,int l,int r){
        if(val[p][num[p]]==cosin*(r-l+1))
            return cosin*(min(r,R)-max(l,L)+1);
        if(L<=l&&r<=R)
            return val[p][num[p]];
        down(p,l,r);
        int mid=(l+r)/2;D ans=0;
        if(L<=mid)ans+=ques(p*2,l,mid);
        if(R>mid)ans+=ques(p*2+1,mid+1,r);
        return ans;
    }
}T;
void in(){
    fin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)fin>>a[i];
}
void work(){
    T.build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op;
        fin>>op>>L>>R;
        if(op==1)T.change(1,1,n);
        if(op==2)fout<<fixed<<setprecision(8)<<T.ques(1,1,n)<<"\n";
        if(op==3){
            fin>>P[0];
            for(int j=1;j<u;j++)P[j]=cos(P[j-1]);
            T.cover(1,1,n);
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    fin.tie(0),fout.tie(0);
    in();work();
    return 0;
}

T4