tg 67

T1

按下列情况先后讨论即可
$(3,3,4),(3,3,2,2),(4,4,2),(4,2,2,2),(2,2,2,2,2)$
这样可以尽可能把木棍全部用完，符合贪心策略

如果后面$4,2$两种木棍共存但是处于$N_2=N_4\cdot [0.5,3]$的时候，
解方程注意精度

如果$N_2$最后一个不剩，不需要讨论只用$2$的情况

注意代码顺序！

T2

首先可以把 $ai$从小到大排序，发现这样并不会改变答案而且简化了问题。
没有什么其他的性质了，直接考虑 $dp$吧。
考虑每次增量一个左部的点，然后考虑它连出去的两条边，达到的效果就是合并两条路径。
所以我们可以记录路径个数，为了简化计算我们定义路径为有向路径。
设 $f_{i,j}$表示考虑前 $i$ 个左部点，形成的有向路径数量是 $j$ 个。
转移可以分两部，第一步是添加 $a_i-a_{i-1}$个右部单点：

$dp[i][j]\leftarrow \sum _{k=0}{a}_i-a_{i-1}\cdot dp[i-1][j-k]\cdot (a_i-a_{i-1}k)$

第二步是任取两条有向路径合并：

$dp[i][j]\leftarrow dp[i][j+1]\cdot j\cdot (j+1)$

时间复杂度 $O(n2)$，我们在第一步转移之后将 $dp[i][1]$ 计入答案。

T3

题意等价于"最大值最小"
发现答案有单调性
直接二分答案

考虑转换成是否可以安排$K$个点使得$mid$时间合法
发现还是做不了，考虑进一步转换
存在性找最小值，就是最少安排多少点使得$mid$时间合法
最后看$ans$是否大于$0$

直接树形$DP$维护这个过程。
对于一棵子树，有可能被完全覆盖了，
也有可能遇到一个叶子深度小于$k$，这个时候暂时不去覆盖它。
完全覆盖的情况我们记录树根往外延伸的距离。
有叶子没覆盖的情况就记录这个叶子的深度，
这种情况不用记录上个情况的距离，
我们最后是用子树外的点去覆盖它，
这个点从树根延伸出去的距离肯定大于当前的距离。
直接合并子树信息即可。