可持久化线段树（主席树）

题外话：可能很多人的知道主席树，但就没人好奇为什么叫主席树吗？发明者缩写HJT,所以就叫主席树了。

主席树

解决区间第k大，以及需要查找历史数据的区间问题。

例题

以下为区间第k大问题的主席树解法。

先离散化。

对于求[1,n]区间的问题，只需要建一棵值域平衡树，维护在原数组中有多少个数在当前值域，查询时就看lson与k的大小关系然后递归求解。

对于求[x,y]区间的问题，考虑前缀和思想，建n棵值域平衡树，分别维护原数组[1,i]区间的情况，查询时就看第y棵的lson-第x-1棵的lson与k的大小关系然后递归求解。

但是这样做的空间复杂度是n^2的，多半要炸。

所以要用主席树来优化空间。

对应[1,i]和[1,i+1]区间的两棵树只有i+1这1个数的区别，受i+1影响的只有logn个点而其余的点没有改变，所以直接把第i+1号树的一些边直接连到i号树上，这样空间复杂度就只有nlogn了。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MM=100010,LOG=20;
int x,y,z,t[MM],L[MM*LOG],R[MM*LOG],sum[MM*LOG],a[MM],b[MM],n,m,q,tot;
int build(int l,int r)
{
    int rt=++tot;
    if(l<r)
    {
        L[rt]=build(1,(l+r)/2);
        R[rt]=build((l+r)/2+1,r);
    }
    return rt;
}
int update(int pre,int l,int r,int x)
{
    int rt=++tot;
    L[rt]=L[pre],R[rt]=R[pre],sum[rt]=sum[pre]+1;
    if(r>l)
    {
        if(x<=(l+r)/2)
            L[rt]=update(L[pre],l,(l+r)/2,x);
        else    
            R[rt]=update(R[pre],(l+r)/2+1,r,x); 
    }
    return rt;
}
int query(int rt1,int rt2,int l,int r,int k)
{
    if(l==r)return l;
    int x=sum[L[rt2]]-sum[L[rt1]];
    if(x>=k)return query(L[rt1],L[rt2],l,(l+r)/2,k);
    else query(R[rt1],R[rt2],(l+r)/2+1,r,k-x);
}
int main()
{
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i],b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1);
    m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    t[0]=build(1,m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i])-b;
        t[i]=update(t[i-1],1,m,a[i]);
    } 
    while(q--)
    {
        cin>>x>>y>>z;
        cout<<b[query(t[x-1],t[y],1,m,z)]<<endl;
    }
    return 0;
}