凸集的概念与推导

什么是凸集？

假设所有的可行解构成一个点集C ，其中\(x,y\in C\)，若有他们连线上的任意一点也是属于C的话，点集C就是一个凸集，即

\(\theta x+(1-\theta )y\in C\quad 0\le \theta \le 1\)

\(\theta x+(1-\theta )y\)代表的是x y连线上的任意一点，这个知识高中学过。

典型的凸集 \({{\mathbb{R}}^{n}}\)、\(\left\{ t\in {{\mathbb{R}}^{n}}:At=b \right\}\)、\(\left\{ t\in {{\mathbb{R}}^{n}}:At\le b \right\}\)（为了避免混淆，我这儿用t代替x）

\(x,y\in {{\mathbb{R}}^{n}}\)，则\(\theta x+(1-\theta )y\in {{\mathbb{R}}^{n}}\)成立，因为实数的组合肯定是在实数范围内，不能说你两个实数做加减乘除变成了一个复数。
\(x,y\in \left\{ t\in {{\mathbb{R}}^{n}}:At=b \right\}\)，则有\(Ax=b\)\(Ay=b\) ，\(A(\theta x+(1-\theta )y)=\theta Ax+(1-\theta )Ay=\theta b+(1-\theta )b=b\)，这就证明了x y连线上的任意一点也是属于原来的点集的
\(x,y\in \left\{ t\in {{\mathbb{R}}^{n}}:At\le b \right\}\)，则有\(Ax\le b\)\(Ay\le b\)， \(A(\theta x+(1-\theta )y)=\theta Ax+(1-\theta )Ay\le \theta b+(1-\theta )b=b\)，这就证明了x y连线上的任意一点也是属于原来的点集的