青蛙跳台阶

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目录

• 1、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
•         递归的方法
•         动态规划的方法
•         动态规划的节省空间版
• 2、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级，还可以跳3级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
• 3、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法?

1、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

        我们要跳上第 n 级台阶，要么从第 n−1级台阶跳一级上来，要么从第 n−2级台阶跳两级上来，令 f(n)表示从第一级台阶跳上第 n 级台阶有几种跳法。则有：
                                                 f(n)=f(n−1)+f(n−2)

        先确定n=1，f(1)=1，n=2，f(2)=2，
        f(3)=f(2)+f(1)，f(4)=f(3)+f(2)，

        递归的方法

首先考虑递归，出口是n=1，或者n=2。返回f(1)，f(2)，其余的返回 f(n−1)+f(n−2)。

代码如下

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor(int num)
{   
	if (num == 1) return 1;
	if (num == 2) return 2;
	else return JumpFloor(num - 1) + JumpFloor(num - 2);
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = JumpFloor(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}

        动态规划的方法

还可以用动态规划（这估计是最简单的动态规划了），求出跳到1--n之间所有台阶的方法数

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor1(int num)
{
	int result[1001];
	result[1] = 1;
	result[2] = 2;
	for (int i = 3; i <= num; i++) {
		result[i] = result[i - 1] + result[i - 2];
	}
	return result[num];
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = JumpFloor1(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}

        动态规划的节省空间版

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor2(int num) 
{
	int result[3];
	result[0] = 1;
	result[1] = 2;
	for (int i = 3; i <= num; i++) {
		result[2] = result[0] + result[1];
		result[0] = result[1];
		result[1] = result[2];
	}
	return result[2];
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
    jumpCount = JumpFloor2(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}

2、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级，还可以跳3级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

           分析一样，不细说了，公式如下
                                                         f(n)=f(n−1)+f(n−2)+f(n-3)

就用递推来写了，其他的自己一品就出来了。

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor(int num)
{   
	if (num == 1)   return 1;
	if (num == 2)   return 2;
	if (num == 3)   return 4;
	else return JumpFloor(num - 1) + JumpFloor(num - 2) + JumpFloor(num - 3);
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = JumpFloor(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}

3、一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法?

           有意思不，嘻嘻嘻，分析也是一样的，不过要递推一下。
           要跳上第 n 级台阶，可以从第 n−1级台阶一次跳上来，也可以可以从第 n−2级台阶一次跳上来，也可以可以从第 n−3级台阶一次跳上来，…，也可以可以从第 1 级台阶一次跳上来。那么问题就很简单啦，同样的，令 f(n) 表示从第一级台阶跳上第 n 级台阶有几种跳法。则有如下公式：
                                               f(n)=f(n−1)+f(n−2)+...+f(1)
同时，f(n−1) 也可以表示如下：
                                               f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+...+f(1)

所以，由上面两个公式可知：
                                               f(n)=2f(n−1)
那么,替换一哈，用n-1代替n，则有：
                                               f(n-1)=2f(n-2)

所以
                                               f(n)=2¹f(n−1)=2²f(n-2)=2³f(n−3)=...=2⁽ⁿ⁻¹⁾f(n−(n−1))=2⁽ⁿ⁻¹⁾f(1)

因为 f(1)=1，所以 f(n)=2⁽ⁿ⁻¹⁾f(1)=2⁽ⁿ⁻¹⁾。

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = 1<<(num-1);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}