笛卡尔乘积
- 中文名
- 笛卡尔乘积
- 外文名
- Cartesian product
- 别 称
- 直积
- 表达式
- A×B = {(x,y)|x∈A∧y∈B}
- 提出者
- 笛卡尔
- 应用学科
- 数学
- 适用领域范围
- 运算
笛卡儿1596年3月31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，笛卡儿的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官,笛卡儿在豪华的生活中无忧无虑地度过了童年。
笛卡儿1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位。1616年笛卡儿结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。他投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。
1628年，笛卡尔写出《指导哲理之原则》，1634年完成了以哥白尼学说为基础的《论世界》。书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的一些看法。1637年，笛卡儿用法文写成三篇论文《折光学》、《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》，哲学史上简称为《方法论》，6月8日在莱顿匿名出版。1641年出版了《形而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等重要著作。
1649年冬，笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂安的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课。由于他身体孱弱，不能适应那里的气候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。终年54岁。1799年法国大革命后，笛卡儿的骨灰被送到了法国历史博物馆[2] 。
假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合，B表示所有韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。
设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.
笛卡尔积的符号化为：
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
例如，A={a,b}, B={0,1,2}，则
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
1.对任意集合A，根据定义有
AxΦ =Φ , Φ xA=Φ
2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即
AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）
3.笛卡尔积运算不满足结合律，即
(AxB)xC≠Ax(BxC)（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)
Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)
给出三个域：
D1=SUPERVISOR = { 张清玫，刘逸 }
D2=SPECIALITY= {计算机专业，信息专业}
则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：
D=D1×D2×D3 ={(张清玫, 计算机专业, 李勇), (张清玫, 计算机专业, 刘晨),
(张清玫, 计算机专业, 王敏), (张清玫, 信息专业, 李勇),
(张清玫, 信息专业, 刘晨), (张清玫, 信息专业, 王敏),
(刘逸, 计算机专业, 李勇), (刘逸, 计算机专业, 刘晨),
(刘逸, 计算机专业, 王敏), (刘逸, 信息专业, 李勇),
(刘逸, 信息专业, 刘晨), (刘逸, 信息专业, 王敏)}
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素[2] 。
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using System;using System.Collections;using System.Collections.Generic;using System.Text;using System.Linq;public class Descartes{public static void run(List<List<string>> dimvalue, List<string> result, int layer, string curstring){if (layer < dimvalue.Count - 1){if (dimvalue[layer].Count == 0)run(dimvalue, result, layer + 1, curstring);else{for (int i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++){StringBuilder s1 = new StringBuilder();s1.Append(curstring);s1.Append(dimvalue[layer][i]);run(dimvalue, result, layer + 1, s1.ToString());}}}else if (layer == dimvalue.Count - 1){if (dimvalue[layer].Count == 0) result.Add(curstring);else{for (int i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++){result.Add(curstring + dimvalue[layer][i]);}}}}} |
使用说明
（1）将每个维度的集合的元素视为List<string>,多个集合构成List<List<string>> dimvalue作为输入
（2）将多维笛卡尔乘积的结果放到List<string> result之中作为输出
（3）int layer, string curstring只是两个中间过程的参数携带变量
（4）程序采用递归调用，起始调用示例如下：
List<string> result = new List<string>();
Descartes.run(dimvalue, result, 0, "");
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import java.util.ArrayList;import java.util.List;//import com.alibaba.fastjson.JSON;public class DescartesUtil { public static void main(String[] args) { List<List<String>> list = new ArrayList<List<String>>(); List<String> listSub1 = new ArrayList<String>(); List<String> listSub2 = new ArrayList<String>(); List<String> listSub3 = new ArrayList<String>(); List<String> listSub4 = new ArrayList<String>(); listSub1.add("1"); listSub1.add("2"); listSub2.add("3"); listSub2.add("4"); listSub3.add("a"); listSub3.add("b"); listSub4.add("c"); listSub4.add("d"); list.add(listSub1); list.add(listSub2); list.add(listSub3); list.add(listSub4); List<List<String>> result = new ArrayList<List<String>>(); descartes(list, result, 0, new ArrayList<String>()); // System.out.println(JSON.toJSONString(result)); } /** * Created on 2014年4月27日 * <p> * Discription:笛卡尔乘积算法 * 把一个List{[1,2],[3,4],[a,b]}转化成List{[1,3,a],[1,3,b],[1,4 * ,a],[1,4,b],[2,3,a],[2,3,b],[2,4,a],[2,4,b]}数组输出 * </p> * * @param dimvalue原List * @param result通过乘积转化后的数组 * @param layer * 中间参数 * @param curList * 中间参数 */ private static void descartes(List<List<String>> dimvalue, List<List<String>> result, int layer, List<String> curList) { if (layer < dimvalue.size() - 1) { if (dimvalue.get(layer).size() == 0) { DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer + 1, curList); } else { for (int i = 0; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) { List<String> list = new ArrayList<String>(curList); list.add(dimvalue.get(layer).get(i)); DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer + 1, list); } } } else if (layer == dimvalue.size() - 1) { if (dimvalue.get(layer).size() == 0) { result.add(curList); } else { for (int i = 0; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) { List<String> list = new ArrayList<String>(curList); list.add(dimvalue.get(layer).get(i)); result.add(list); } } } }} |
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from itertools import productfor x,y,z in product(['a','b','c'],['d','e','f'],['m','n']): # python大法好 print(x,y,z) |
- 参考资料
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- 1. 黄宏图,毕笃彦,查宇飞,高山,覃兵. 基于笛卡尔乘积字典的稀疏编码跟踪算法[J]. 电子与信息学报,2015,37(03):516-521. [2017-08-26].
- 2. JAVA笛卡尔(descartes)乘积运算结果的输出 ．PHP爱好者．2014-05-07[引用日期2015-03-26]
- 3. 黄海圆. 笛卡尔乘积图的配对控制数[D].浙江师范大学,2015.
