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我在代码随想录|写代码Day32 | 动态规划| 动态规划基础,509. 斐波那契数,70. 爬楼梯,746. 使用最小花费爬楼梯

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学习目标：

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代码随想录 - 动态规划

学习时间：

周一至周五晚上 7 点—晚上9点
周六上午 9 点-上午 11 点
周日下午 3 点-下午 6 点

学习内容：

动态规划基础知识点
斐波那契数
爬楼梯
使用最小花费爬楼梯

内容详细：

动态规划基础知识点

什么是动态规划?
动态规划是将问题状态储存然后运用上一个状态去影响下一个状态的方法, 其实动态规划和贪心有点像但是却不相同,动态规划的核心是动态转移方程,然后就是转移方式,下面是动态规划的基础思考|解决方法

动态规划的解题步骤

确定dp数组以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
举例推导dp数组

509. 斐波那契数

考点: 动态规划经典题 斐波那契数列

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解题思路

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

	dp[0] = 0;
	dp[1] = 1;

确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int a[n+5];
        a[0]=0;
        a[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            a[i]=a[i-1]+a[i-2];
        }
        return a[n];
    }
};

70. 爬楼梯

题目考点: 动态规划
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解题思路同上

爬上 n 层只能从 n - 1 和 n - 2 上转移过来 , 所以爬上 n 层的可能是 爬上 n - 1 的可能 + 爬上 n - 2 的可能
的总数

下面是详细代码

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        long long int a[n+5];
        a[0]=1;
        a[1]=1;
        a[2]=2;
        for(int i=2;i<n+2;i++){
            a[i]=a[i-1]+a[i-2];
        }
        return a[n];
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

题目考点: 动态规划 贪心 数组

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解题思路

可以当成背包问题来写,后面文章会详解背包问题

确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以

dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

dp数组如何初始化
初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
确定遍历顺序
本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。
因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
举例推导dp数组

详细代码

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

其他解法

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int n = cost.size();
        // i = 0, 所站的平地，还没有迈步往上
        int min0 = 0;
        // i = 1, 往上爬一个台阶，因为题目可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，所以这里也是0
        int min1 = 0;
        int minTop = 0;
        // i 表示阶梯顶部
        for(int i = 2; i <= n ; i++){
            // 要么一次迈两阶，要么先迈一阶再迈一阶
            minTop = min(min0 + cost[i - 2], min1 + cost[i - 1]);
            // 等同于min1变成了平地min0，minNext变成了min1，继而往上爬
            min0 = min1;
            min1 = minTop;
        }
        return minTop;
    }
};