洛谷P1028 [NOIP 2001 普及组] 数的计算 题解

合集 - C++题解(26)

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P1028 [NOIP 2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出正整数 \(n\)，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数 \(n\) 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 \(a, b\) 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 \(i \leq |a|\)，使得 \(a_i \neq b_i\)。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 \(n\)。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• \(6\)
• \(6, 1\)
• \(6, 2\)
• \(6, 3\)
• \(6, 2, 1\)
• \(6, 3, 1\)

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 \(1 \leq n \leq 10^3\)。

题解

思路

可能同学们一开始会想到使用DFS搜索求解，但是交上去后无法拿到满分，很多测试点会TLE。对此，我们可以采取递归的方法来写题。

通过手动列举前几个\(n\)值所对应的结果，找出规律。我们发现，当\(n\)是一个奇数时，\(n/2\)和\((n-1)/2\)的结果是一样的，即当\(n\)为奇数时，可以转换成求\(n-1\)的结果。于是我们列出了第一个递推式：

\[f(n)=f(n-1) (当n\mod2=1时) \]

随后，通过构造合法数列的方法，我们可以知道，求\(n\)的结果是所有对于\(1\le i\le n\div 2\)的正整数\(i\)的\(f(i)\)的和加1（因为要包括不在后面加数的单独一个\(n\)的情况），递推式2：

\[f(n)=(\sum_{i=1}^{n\div 2}{f(i)})+1 \]

接下来我们考虑\(f\)的边界条件，当\(n=0\)或\(n=1\)时，只有1个合法数列，所以返回1。

我们就顺利得出了下列递推式：

\[\begin{equation} \begin{cases} f(n)=f(n-1),当n\mod2=1 \\ f(n)=f(n)=(\sum\limits_{i=1}^{n\div 2}{f(i)})+1,当n\mod2=0 \\ f(n)=1,当0\le n\le 1 \end{cases} \end{equation} \]

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
 
using namespace std;
 
int n, vis[1005];
int fun(int x) {
    if(vis[x]) return vis[x]; // 如果这个问题已经求过了，则直接返回结果
    if(x <= 1) return 1; //递推式3，当n<=1，返回1
    if(x % 2 == 1) return fun(x - 1); // 递推式1，当n%2==1，返回f(n-1)
    int ans = 1;
    for(int i = 1; i <= x / 2; i++) { // 递推式2，当n%2==0，返回f(i)（1<=i<=n/2）的和
        int s = fun(i);
        vis[i] = s;
        ans += s;
    }
    return ans;
}
int main() {
    cin >> n;
    cout << fun(n) << endl;
    return 0;
}