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题面传送门 点分树，又称动态点分治，是一个看上去非常神奇的东西。但是实际上非常朴素，就是把点分治时候的两层重心之间连上一条边。 这样的树有什么性质呢，~~发现和原树一点都对应不上~~，可以发现其高度为$O(\log n)$的，所以一些普通树上不能干的事情在点分树上可以做，比如暴力遍历一个点的祖先，或 阅读全文
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题面传送门 可惜了，迟到了一个小时没时间做了。 首先我们发现，如果一条边上只能新建一个点是平凡的，因为这个类似三角剖分的过程帮我们划分了dp状态：设$dp_{i,j}$表示$i$个点，最小割为$j$的方案数。则可以从$dp_{k,a}\times dp_{i-k,b}[\min(a,b)=j]$转移 阅读全文
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题面传送门 首先我们发现，一定不会有低于$h_1$的参与操作的过程。 然后考虑一个$x$与比它大的$y<z$，则发现一定是先$(x,y)$，再$(\frac{x+y}{2},z)$更好。 因为这样是$\frac{4}{x+y}+\frac{z}{2}$，而一起做是$\frac{x+y+z}{3}$， 阅读全文
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题面传送门 写完这题发现自己不是很会拉格朗日插值，考场上肯定药丸。 首先看第一问，我们有一个非常显然的想法：枚举最小值是哪个，然后每个点可以求出一个取值区间，这样可以树上合并路径的dp做到单次$O(n)$。 但是这种想法有一个问题：即不能保证最小值一定是我枚举的这个，换言之，一种方案可能在不同的我所 阅读全文
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题面传送门 因为WC2022考了这种构造，所以下意识将括号序列建树。 手玩一下发现第一个操作实际上是干了这个事情： 也就是说把用其中一个括号将另一个同层括号在树上移到了下一层。 答案的形式是((((((((()))))))))，也即括号树形成了一条链。 Case 1 :$X=Y=0$ 显然答案为$0 阅读全文
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题面传送门 我们发现整除具有传递性，于是我们将$a_i$与$a_j$如果$a_i\mid a_j$，那么连边$(i,j)$，这样的话我们会得到一个DAG。 容易发现DAG中入度为$0$的点是不可能删除的，所以所有点被删除时$i$为不可删除点是最优的。 而如果一个不可删除点有了一个被它整除的点，那么剩 阅读全文
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题目传送门 考虑求值的过程，容易发现我们会形成一颗$k$叉树，然后最后的总和是每个$1$点对应的深度的$\frac{1}{k}$次幂和。 容易发现在同一层有$k$个同样的点可以用下一层$1$个点代替并删除上面$k$个点，因此我们只要对任意$n'\equiv n\pmod{k-1},m'\equiv 阅读全文
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题面传送门 我们先来考虑一棵树怎么做。显然先将边排序，然后从大到小加边，每次加边$(x,y)$以后会使$f_x=f_y=f_x+f_y$。 但是很遗憾这个做法并不能直接搬到仙人掌上因为有些点会被算重。我们计算的是路径的数量而要求的是点的数量。 还是延续这个思路，但是当加到一个环的最后一条边的时候，我 阅读全文
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题面传送门 首先发现因为$1$只会在三元环内，所以可以把分成若干个独立的联通块。 分类讨论：如果这个联通块是一个包含$1$的三元环，那么有三种情况：删两条边，删一条边（两种方案），不删边。如果只是一条边，那么只有删与不删两种情况。 而此类题可以转换为选择若干个环使得环之间异或起来不为$0$。也就是说 阅读全文
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题面传送门 我是真服了，猜结论这么牛逼。我tm应该猜个二次函数就写哪这个多废话。 首先看这个形式$\frac{X}{X+Y}$感觉非常不爽，然后看样例发现所有能合并出来的序列的概率式一样的。 所以就猜概率是一样的，进一步得出概率是$\frac{1}{C_{n}^{A_i}}$。 证明就考虑每次操作是 阅读全文
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题面传送门 看到这题的第一眼想法：哇这不是从$n$倒过来维护一些区间的右端点每次增加$O(1)$个区间，平移若干区间，得到$O(n)$个取值点，然后对于每个点二分出第一个能模的位置，暴力做得到$O(n\log n\log A)$的优秀复杂度吗？ 哎等下，这东西好像要写个平衡树写个st表有点难写的亚子 阅读全文
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题面传送门 莫名其妙优化不下去了，那就小常数$O(nk\log n)$算了吧。 考虑直接dp：设$dp_{i,j}$表示到了$i$，分了$j$层之后最小值，这样dp是$O(n^2k)$的。 最大值考虑建立笛卡尔树，两点间的最大值变成笛卡尔树上的LCA。 现在就是上一层的每个点向一路祖先的右子树转移的 阅读全文
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题面传送门 首先我们发现，直接计算的方案数一定是有重复的，这启发我们添加限制去重。 我们钦定第$i$个白球原始颜色就是第$i$次出现的颜色。这样每种序列就会被对应到一种初始颜色。 然后考虑对这个初始颜色序列计数。设$dp_{i,j}$表示放了第$i$个颜色，还有$j$个颜色的后$k-1$个球没有处理 阅读全文
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题面传送门 首先我们发现对强连通图不太好计数，那么我们对不要求弱联通的非强连通图计数会好做一点，然后用所有的方案减去即可。 容易发现这样的图缩点以后是一个DAG，则可以参照DAG计数的方法，每次枚举入度为$0$的点。具体的，我们设$dp_{S1,S2}$表示$S1$导出子图中入度为$0$的点为$S2 阅读全文
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题面传送门 首先发现原来题面的形式不好直接做，于是考虑换一种角度思考： 维护$B$数组，每个位置$i$表示这种高度的石柱最后留下的位置在哪里。从$2n$到$1$逆序扫过来，并将每个数$j$从$j$到$1$看，如果找到第一个$B$中没有数的位置填进去。如果没有没有填过的位置就不在$B$中出现。 考虑把 阅读全文
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题面传送门 首先我们发现这个题非常奇怪，它要我们求的方案数并不是在网格上行走的方案数，而是从左边或者右边绕过矩形的方案数。 我们发现从左边绕过矩形必定从上面绕过矩形，从右边绕过矩形的话必定从下面绕过矩形，因此可以转化过来。 考虑如何加入限制去重，可以发现转化了限制条件之后，一直往右走直到不能走了再往 阅读全文
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题目传送门 首先我们转化一下题意：有$[1,2^n-1]$中选择$m$个数，满足异或起来为$0$的方案数。 容易想到，我们前$m-1$个数可以任意选，只要最后一个数等于前面所有数的异或和即可满足全部为$0$。 但是这样的构造方案有三个问题：最后一个数可能为$0$，最后一个数可能与前面的数重复，以及一 阅读全文
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题面传送门 很显然，题目叫我们维护添加一个字符以后的所有border。 讨论后容易发现，可以用上一个结尾对应的border进行修改后得到当前border。 具体的，如果$c_i=c_1$，那么加入一个长度为$1$的border。 如果这个border后继字符和$c_i$相同，则可以保留，否则删除即可 阅读全文
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题面传送门 为什么树上问题一定要用点分治/fn 首先我们显然可以写出暴力的$O(n^2)$dp：设$f_u$表示$u$到$1$的最小费用，则枚举可转移点，有转移$dp_u=dp_v+p_u(d_u-d_v)+q_u$。 观察到这个式子很像斜率优化的形式，展开后发现与$v$相关的项是$dp_v-d_v 阅读全文
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题面传送门 首先我们发现这个每一步至少删一个点很烦，设$g_i$表示每一步至少删一个点$i$步删空的方案数，$f_i$表示无限制$i$步删空的方案数，则显然有$g_i=f_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}g_jC^j_i$。则最后$O(n^2)$递推即可。 现在设$dp_{x,i} 阅读全文
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题面传送门 exLucas的第一道例题。 我们考虑我们要算的东西，显然是$\sum\limits_{i=0}^{a}{\sum\limits_{j=0}^{b}{C_{a}^iC_b^j[i>j]}}$。 为了快速计算这个东西，我们考虑一种特殊情况$a=b$，可以发现，除了平局，输赢其实是对称的，因 阅读全文
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题面传送门 我们发现强制第一个人在一号节点不影响答案，因此我们钦定第一个人在一号点然后答案乘$n$即可。 考虑本质要求什么。也就是说$[2,2],[3,4],[5,8]\dots [2^{n-1}+1,2^n]$区间内的最小值都不在$A$中。 不在不好考虑，容斥变成至少有$S$集合内的点在这些区间的 阅读全文
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题面传送门 首先根据期望的线性性，我们可以求出每一个完美匹配出现的概率然后求和即为完美匹配个数的期望。 显然的，我们可以设$dp_{a,b}$表示左部点选择了$a$集合内的点，右部点选择了$b$集合内的点在完美匹配中的概率。加入$op=0$的边以后，分这条边出现和不出现两种情况。而且出现再分在不在完 阅读全文
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题面传送门 写了一个sb错误调了半天…… 首先我们考虑如何判断一个序列是否先手必胜。方便起见，同样的数看成一个，显然有一个$O(nA2^{A})$的dp，但是显然过不了。 考虑挖掘一点性质。 容易发现，如果序列中全为$1$或全为$2$，则先手必败。否则，若$Mx\leq 2$，则先手必胜。 接下来考 阅读全文
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题面传送门 感觉除了复杂度和卢卡斯定理没有任何关系。 首先我们考虑先把$p$唯一分解成$\prod\limits_{i} p_i^{c_i}$，然后对于每个$p_i^{c_i}$求出$C_{n}^{m}\bmod p_i^{c_i}$的值，然后CRT合并即可。 $C_n^m\bmod p_{i}^{ 阅读全文