luogu P10062 [SNOI2024] 拉丁方

首先需要一些前置知识：

每个点都恰好有 $k$ 个度数的二分图称为 $k$ 正则二分图，$k$ 正则二分图一定有完美匹配。

Proof

考虑 Hall 定理，不存在完美匹配当且仅当存在一个左部点的集合 $S$ 使得 $|tr(S)|<|S|$，这意味着 $tr(S)$ 的度数之和要大于等于 $|S|$ 的度数之和，但是因为每个点都恰好有 $k$ 个度数，所以是矛盾的。

对于一个 $k$ 正则二分图，以下求完美匹配算法的时间复杂度是期望 $O(n\log n)$ 的：

随机一个未匹配的左部点，随机一个有边相连的右部点走过去，如果这个右部点没有匹配就找到一条增广路，否则走匹配边继续走到左部点。找到增广路之后去掉环更新匹配，重复 $n$ 次。

具体证明不细表，感性理解是在已经匹配 $t$ 个后期望走 $O(\frac{n}{n-t})$ 个点就能找到一个未匹配的右部点。运行 $n$ 次即可在 $O(n^2\log n)$ 复杂度内找到一个二分图边染色。

当 $k$ 是偶数的时候，可以跑一遍欧拉回路，然后将欧拉回路相邻两条边划分到不同的子图，这样会分成两个 $\frac{k}{2}$ 正则二分图。因此，当 $k=2^t$ 的时候可以 $O(m)$ 求出一组完美匹配，$O(m\log k)$ 求出所有完美匹配。

这也就给出了一个确定性找到一组完美匹配的做法：令 $2^t$ 为最小的 $\geq m$ 的二进制幂，我们将整张图补成一个 $2^t$ 正则二分图：令 $a=\lfloor\frac{2^t}{k}\rfloor,b=2^t-ak$，则将原图的边重复 $a$ 次，再随便找一个不一定要求是原图的完美匹配重复 $b$ 次。在这张图上跑 $t$ 次欧拉回路，每次保留两个子图中不是原图的边更少的一个。因为不是原图的边最多有 $bn$ 条，而 $bn<kn=m\leq 2^t$，因此 $t$ 次之后一定不存在不是原图的边，也就找到了一个完美匹配。这个做法的复杂度是 $O(m)$ 的。

题面传送门

有了这些前置知识，先考虑 $C=n$ 的情况，发现这种情况一定有解。具体的，建立一个二分图，左边是列，右边是值，每个列向还没有在这个列上存在的值连边，每次跑一个完美匹配出来就是新增了一行。

然后我们现在只需要将 $R\times C$ 补齐 到 $R\times n$，但是现在可能会有无解的情况。假设一种值 $i$ 还需要出现 $c_i$ 次，若 $c_i>n-C$，则显然无解。否则，建立一个二分图，左边是前 $R$ 行，右边是值，每行向每个没有出现过的值连边。

但是现在有个问题，这个二分图并不是正则二分图，为此，我们给左边补上 $n-R$ 个虚点，每个点向右边连 $n-C$ 条边将右边所有点补齐成 $n-C$ 的度数，然后跑二分图边染色即可。

时间复杂度 $O(Tn^2\log n)$。

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