QOJ #8232. Yet Another Shortest Path Query
我感觉这个题很牛逼！提供了一种全新的视角！
首先考虑这个平面图怎么用。因为平面图的边数满足 \(m\leq 3n-6\)，所以一个平面图一定存在一个点度数 \(\leq 5\)。我们每次删掉这样的一个点，并删掉所有以这个点为端点的边，则剩下的图还是一个平面图，这样不断删除下去就可以得到每个点的删除时间，记作 \(p_i\)。对于每条边，我们让这条边从删除时间小的点指向删除时间大的点，则每个点至多有 \(5\) 条出边。
我们先考虑如何计算两个点之间不超过 \(2\) 步的答案，不妨将两个点记作 \(1,3\)，中间点记作 \(2\)。对路径的形态分类讨论：
- 形如 \(1\to 2\leftarrow 3\)：枚举 \(1,3\) 的出边，找到共同的点。这样只需要至多枚举 \(25\) 次。
- 形如 \(1\to 2\to 3\) 或 \(1\leftarrow2\leftarrow3\)：枚举一个端点的出边以及出边指向的点的出边，这样也只需要枚举 \(25\) 次。
- 形如 \(1\leftarrow 2\to 3\)：枚举 \(1\)，枚举一条入边，再枚举入边的端点的出边。这样总共需要枚举 \(5m\) 次。
然后考虑如何处理不超过 \(3\) 步，将两个点记作 \(1,4\)，中间两个点记作 \(2,3\)。
- 如果形如 \(1\to 2\)，则枚举 \(1\) 的出边转化成 \(5\) 个距离为 \(2\) 的问题。对于 \(4\to 3\) 同理。
- 如果形如 \(1\leftarrow2 \to3\to 4\)，枚举 \(1\)，枚举一条入边，再枚举两次出边。对于 \(1\leftarrow2 \leftarrow 3\to 4\) 同理。
因此，我们以 \(O(n+m)\) 的复杂度解决了，常数不用管
