QOJ #8232. Yet Another Shortest Path Query

题面传送门

我感觉这个题很牛逼！提供了一种全新的视角！

首先考虑这个平面图怎么用。因为平面图的边数满足 $m\leq 3n-6$，所以一个平面图一定存在一个点度数 $\leq 5$。我们每次删掉这样的一个点，并删掉所有以这个点为端点的边，则剩下的图还是一个平面图，这样不断删除下去就可以得到每个点的删除时间，记作 $p_i$。对于每条边，我们让这条边从删除时间小的点指向删除时间大的点，则每个点至多有 $5$ 条出边。

我们先考虑如何计算两个点之间不超过 $2$ 步的答案，不妨将两个点记作 $1,3$，中间点记作 $2$。对路径的形态分类讨论：

• 形如 $1\to 2\leftarrow 3$：枚举 $1,3$ 的出边，找到共同的点。这样只需要至多枚举 $25$ 次。
• 形如 $1\to 2\to 3$ 或 $1\leftarrow2\leftarrow3$：枚举一个端点的出边以及出边指向的点的出边，这样也只需要枚举 $25$ 次。
• 形如 $1\leftarrow 2\to 3$：枚举 $1$，枚举一条入边，再枚举入边的端点的出边。这样总共需要枚举 $5m$ 次。

然后考虑如何处理不超过 $3$ 步，将两个点记作 $1,4$，中间两个点记作 $2,3$。

• 如果形如 $1\to 2$，则枚举 $1$ 的出边转化成 $5$ 个距离为 $2$ 的问题。对于 $4\to 3$ 同理。
• 如果形如 $1\leftarrow2 \to3\to 4$，枚举 $1$，枚举一条入边，再枚举两次出边。对于 $1\leftarrow2 \leftarrow 3\to 4$ 同理。

因此，我们以 $O(n+m)$ 的复杂度解决了，常数不用管

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