QOJ #9317. Rivals

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直接做显然不太好做，考虑转化成每次都从 $n$ 个怪中随机挑一个出来打，但是只有挑到还有血量的怪才算入“打了一次”。

使用生成函数来刻画这个东西：当打了一次，乘上一个 $y$，打了有效的一次，乘上一个 $x$。枚举最后一次有效攻击打到了哪个身上，则每个怪的 EGF 就是

$$x^{a}e^{\frac{y}{n}}+\sum\limits_{0\leq j<a}{\frac{(x^i-x^a)y^i}{n^ii!}}$$

直接把所有生成函数用个 DP 卷出来，这部分复杂度是 $O(n^3a^3)$ 的。

现在我们需要计算某个 $x^ay^be^{k\frac{y}{n}}$ 的系数，将其贡献到攻击了 $a+1$ 次的答案中。将 $e$ 展开，我们要求的东西实际上长这样：

$$\sum\limits_{i\geq 0} (\frac{k}{n})^i (i+b)^{\underline{b}}$$

发现只和 $k,b$ 有关，不妨确定 $k$，记 $f(b)$ 表示 $b$ 的系数，则将 $i=0$ 的情况提取出来，有

$$f(b)=b!+\frac{k}{n}\sum\limits_{i\geq 0} (\frac{k}{n})^i (i+b+1)^{\underline{b}}$$

注意到 $(i+b+1)^{\underline{b}}$ 实际上是可以展开的，其可以展开成 $\sum\limits_{j=0}^{b}(i+j)^{\underline{b-j}}$，展开以后将 $f(b)$ 移项到左边，整理为

$$\frac{n-k}{n} f(x)=b!+\frac{k}{n}\sum\limits_{0\leq j<x} f(j)b^{\underline{b-j}}$$

就可以 $O(n^2a^2)$ 对于某个固定的 $k$ 递推出系数。瓶颈还是在于前面的背包。

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