LU 分解及 Matrix determinant lemma

LU 分解

对于一个矩阵 $\mathbf A$，求出 $\mathbf A=\mathbf {LU}$，其中 $\mathbf L$ 是下三角矩阵，$\mathbf U$ 是上三角矩阵的过程称为 LU 分解。

一般矩阵的 LU 分解可以消成行列式的同时记录逆矩阵，复杂度同高斯消元。

一个比较好的性质是 $|\mathbf A|=|\mathbf L||\mathbf U|$，如果能利用 $\mathbf A$ 的特殊性质快速分解出来，因为 $|\mathbf L|,|\mathbf U|$ 就是对角线乘积，所以 $|\mathbf A|$ 可以快速计算。

比如 $\mathbf A_{i,j}=\gcd(i,j)$。

对其施以欧拉反演，可以得到 $\mathbf A_{i,j}=\sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)}\varphi(d)$。

则可以拆成两个矩阵：$\mathbf L_{i,j}=[j\mid i]\varphi(j),\mathbf U_{i,j}=[i\mid j]$，则容易验证 $\mathbf A=\mathbf L\mathbf U$，且 $\mathbf L,\mathbf U$ 满足三角矩阵条件。因此 $|\mathbf A|=\prod\limits_{i=1}^{n}\varphi(i)$。

进一步的，如果 $\mathbf A_{i,j}=f(\gcd(i,j))$，则对于满足 $f_i=\sum\limits_{j\mid i}g_j$，即 $g$ 为 $f$ 的高维差分，$|\mathbf A|=\prod\limits_{i=1}^{n}g(i)$。

一个可能有用的论文

Matrix determinant lemma

记 $\mathbf{U}$ 为 $n\times m$ 的矩阵，$\mathbf{V}$ 为 $m\times n$ 的矩阵，$\mathbf{I}_x$ 为 $x$ 阶单位矩阵。

主要定理是：

$$|\mathbf{I}_n+\mathbf{U}\mathbf{V}|=|\mathbf{I}_m+\mathbf{VU}|$$

证明可以考虑构造矩阵相乘：

$$\begin{pmatrix}\mathbf{I}_n & \\ \mathbf{V} & \mathbf{I_m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{I}_n+\mathbf{UV} & \mathbf{U}\\ & \mathbf{I_m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{I}_n & \\ \mathbf{-V} & \mathbf{I_m}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{I}_n & \mathbf{U}\\ & \mathbf{VU}+\mathbf{I_m}\end{pmatrix}$$

对两边取行列式即可。

将其扩展到一般的情况，令 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则有

$$|\mathbf{A}+\mathbf{UV}|=|\mathbf A||\mathbf{I}_n+\mathbf{UVA}^{-1}|=|\mathbf{A}||\mathbf{I}_n+\mathbf{V}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{U}|$$

假设我们要求的是一个形如 $|\mathbf{D}-\mathbf{G}|$ 的行列式，且 $\mathbf{G}=\mathbf{UV}$，$\mathbf D$ 易求行列式和逆，则 MDL 的最大作用是将 $\mathbf{G}$ 原本隐藏在这个乘法里的性质显露出来。一个简单的应用例子：如果 $m$ 远小于 $n$，则现在只需要做一次 $m\times n\times m$ 的矩阵乘法并对一个阶为 $m$ 的矩阵求行列式，而不是原来的 $n\times m\times n$ 的矩阵乘法以及阶为 $n$ 的矩阵求行列式。

其相比于 LU 分解来说不要求分解出来的一定是两个对角矩阵，适用性更加广泛，但是性质要弱一点。

PA 2022 Drzewa rozpinające

使用矩阵树定理，我们要求的值即为 $|\mathbf{D}-\mathbf{G}|$，其中 $\mathbf D$ 为度数矩阵，$\mathbf G$ 为邻接矩阵。

$\mathbf D$ 容易计算，并且由于其为对角矩阵，逆和行列式都容易计算。考虑仍然对 $\mathbf G$ 施以欧拉反演，可以构造出两个 $n\times m$ 的矩阵 $\mathbf U_{i,j}=[j\mid a_i]\varphi(j),\mathbf V_{i,j}=[i\mid a_j]$，满足 $\mathbf G=\mathbf U \mathbf V$。

使用 MDL，可以得到我们要求的就是 $|\mathbf D||\mathbf I_n+\mathbf V\mathbf A^{-1}\mathbf U|$。

你说得对，但是这看上去还是要求阶为 $5000$ 矩阵的行列式啊？

考虑矩阵 $\mathbf V\mathbf A^{-1}\mathbf U$ 的实际意义，会发现只有 $\operatorname{lcm}(i,j)\leq m$ 的位置有值，因此这个矩阵非常稀疏，且值主要集中在上方的一个类似于反比例函数的区域，所以从下到上消元速度非常快。时间复杂度可以（？）看作 $O(n^2)$ 的。

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AGC060F Spanning Trees of Interval Graph

使用矩阵树定理，直接求行列式需要对一个很大的矩阵消元，爆了。

发现可以使用点减边容斥计算这个 $\mathbf G$，这样的话使用 MDL 之后就只需要对一个阶 $2n-1$ 的矩阵求行列式，于是就对完了。

$\mathbf D,\mathbf V\mathbf A^{-1}\mathbf U$ 均容易根据实际意义二维前缀和求得，时间复杂度 $O(n^3)$。

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