QOJ #8670. 独立

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首先把树上最大独立集的 dp 抽象一下，可以得到如下做法：对于每个点求出 $b_i=\max(0,a_i-\sum\limits_{j\in son_i} b_j)$，则所有 $b$ 之和就是最大独立集。

则我们设 $dp_{i,j}$ 表示第 $i$ 个点的 $b_i=j$ 时的方案数，直接朴素的 dp 时 $O(nm^2)$ 的。

一个猜想是 $dp_i$ 可以用很简单的形式表示出来。实际上，$dp_{i,j}(0<j\leq m)$ 是一个次数不超过 $siz_i$ 的多项式在 $j$ 处的点值。

先考虑怎么把子树的 $dp_i$ 乘起来，比如现在需要合并两个大小分别为 $siz_i$ 和 $siz_j$ 的子树，则合并后可以用一个 大小为 $siz_i+siz_j$ 的多项式刻画。因此我们将两棵子树都插值到 $siz_i+siz_j$，然后将这两部分进行一个卷积就行了。

然后现在我们有了这个多项式的点值，需要取反以及前缀和，这同样需要插出 $siz_i$ 个点值，对于连续点值的插值，可以用 NTT 做到 $O(n\log n)$，因此总复杂度 $O(n^2\log n)$。

最后一个问题就是对于 $j\leq m$ 的位置是对的，但是更大的是不对的。对于这样的情况，因为更大的会和 $0$ 取 $\max$，所以只需要用总和减去所有最终卷积出来 $\leq m$ 的位置的值之和，然后增加到 $0$ 即可。

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