QOJ #8673. 最短路径
一年前，折戟沉沙，后面忘了。
首先我们考虑折半搜索去做这个题。对于 \(x\)，在正向的图上跑 Dijkstra，对于 \(y\)，在反图上跑 Dijkstra。当两边搜到同一个点的时候，所有的最短路都可以表示成：\(x\to x'\to y'\to y\)，其中 \(x'\) 是 \(x\) 已经扩展过的点，\(y'\) 是 \(y\) 已经扩展过的点，结合 Dijkstra 的流程不难说明这个贪心的正确性。
我们发现，在两边碰撞之前，每次扩展的点都是完全独立的，因此如果两边扩展相同的点数，那么相当于每次随机抽一个点出来问什么时候会抽出来一个点两次，由生日悖论容易说明只需要进行 \(O(\sqrt n)\) 次扩展。
因为图是随机的，所以可以认为每个点的期望度数是 \(O(\frac{m}{n})\) 级别的，因此上述过程的复杂度就是 \(O(qmn^{-\frac{1}{2}}\log n)\) 的，可以通过 55p。
我们希望能把 \(m\) 优化掉。首先是 Dijkstra 部分，我们可以先对于每个点的出边按照边权排序，那么对于一个点的出边，肯定是边权小的边先入堆，然后才是边权大的边入堆，因此堆的操作次数就只与点数线性相关了。
这个时候你会发现你已经能过了，第一部分的复杂度被优化到了 \(O(n^{\frac{1}{2}}\log n)\)，但是第二部分的复杂度还是 \(O(mn^{-\frac{1}{2}})\)，虽然其实 \(O(m^{\frac{3}{4}})\) 的单次询问看上去已经很能过了，但是我们可以做到更好。记 \(dis_{x,y}\) 表示从 \(x\) 走到 \(y\) 的最短路，中间交汇的点为 \(r\)，则现在实际上已经有了一个最短路 \(dis_{x,r}+dis_{r,y}\)，假设我们现在的最短路是 \(dis_{x,s}+w_{s,t}+dis_{t,y}\)，则 \(w_{s,t}\leq 2\max(dis_{x,r}-dis_{x,s},dis_{r,y}-dis_{t,y})\)。如果右侧没有 \(2\) 的系数，那么边数就是前面 Dijkstra 遍历的边数，是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，加了这个 \(2\)，感性理解一下，也就乘个 \(O(1)\) 倍，因此后面部分的复杂度也就和前面一样了。
但是更慢了怎么会是呢？
