UOJ #771. 【UER #11】科考工作
我觉得这个题还是很牛的！
考虑它给我 \(2N-1\) 个点有什么用，首先如果一个数出现 \(\geq N\) 次就显然这种数取 \(n\) 个就好了，否则总可以两两配对使得配对的两个数不同，最后剩一个数。
可以说明，剩下的一个数必须选，其余的一组中选择恰好一个，能在模意义下表示出 \(0\)。这不强于任意 \(N-1\) 个非 \(0\) 数能表示出所有数。而后面的证明可以考虑当前已经能表示出的数的集合 \(S\)，若 \(S=S+x\)，因为 \(n\) 是质数，所以说明 \(S\) 是全集，否则每增加一个 \(x\) 至少将 \(S\) 集合扩大一个。初始 \(S=\{0\}\)，经过 \(N-1\) 次操作后一定是全集。
现在我们已经可以会一个 \(O(\frac{N^2}{\omega})\) 的做法了：枚举每个数 \(w\)，找到一个位置 \(x\) 使得 \(x\) 在集合里但是 \((x+w)%N\) 不在，用 bitset 优化这个过程。
接下来有两个做法，一个是将所有 \(w\) 相同的放在一起考虑并 random_shuffle，如果将每次模坐标变换之后可以被表示出的数看成均匀随机的话，复杂度就是 \(O(n\log n)\) 的，但是我也不知道怎么证明它是均匀随机的。
另一个做法是，等下这个做法好像假了。
但是我们还有第三个做法！假设当前要加入的数是 \(x\)，随便找一个位置 \(v\) 满足还不能被表示，则在 \(0\to x\to 2x\bmod n\to 3x\bmod n\to\dots\to v\) 这条链上二分，就能找到一个前面是 \(0\) 后面是 \(1\) 的位置了。这个做法是确定性的 \(O(n\log n)\)，但是比随机化常数略大。
