UOJ #705. 黄忠庆功宴
这玩意咋这么牛？
首先我们发现，如果 \(k\) 比较小，那么对于这些 \(k\) 预处理前缀和就行了。而一个等差数列又能被划分成 \(k^{-1}\) 个公差为 \(1\) 的等差数列，因此如果 \(k^{-1}\bmod p\) 比较小，直接暴力就行。
现在考虑一般的情况，如果 \(k=\frac{x}{y}\) 满足 \(x,y\) 都比较小，则我们可以在 \(O(nx)\) 的时间内预处理，\(O(y)\) 的时间回答单次询问。
显然 \(x\times y\) 至少是要 \(O(n)\) 级别的，一个想法是根号平衡，可以证明，只要 \(-\sqrt n\leq x\leq \sqrt n,1\leq y\leq \sqrt n\) 即可表示所有的 \(k\)。
考虑对于每个 \(k\)，将 \(x,y\in [1,\sqrt n]\) \(x-yk\) 作鸽巢原理，如果一对 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) 满足 \(x_1-y_1k=x_2-y_2k\)，则 \(k=\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}\)，显然可以将 \(y\) 调整成正的。只需要上界平方略大于 \(n\) 就一定能找到。
时间复杂度 \(O((n+q)\sqrt n)\)，应该是可以调整成 \(O(n\sqrt q)\) 的。注意尽量不要在根号上带上取模运算，否则容易 T。
