QOJ #8820. Exchanging Kubic 2
首先我们来考虑给定一个序列，如何计算最小的权值。
不妨将其差分来看，每次操作相当于向左向右找到第一个位置满足差分值 \(>0\)，然后将这两个位置分别 \(-1\)。
记三元组 \((l_i,x_i,r_i)\) 表示在 \(x\) 操作一次，左边在第 \(l_i\) 个差分值位置处减了 \(1\)，右边在第 \(r_i\) 个差分值位置处减了 \(1\)。
如果对于两对三元组 \((l_1,x_1,r_1),(l_2,x_2,r_2)\)，满足 \(x_1<l_2<r_1<x_2\)，这是不可能的，因为假设第一个三元组先操作，那么 \(l_2\) 处肯定已经没有值了所以才会跳过。而如果第二个三元组先操作，则 \(r_1\) 处也没有值了。同理不能有 \(l_1<l_2<x_1<x_2\)，因此，任意两个三元组对应的区间 \([l_i,r_i]\) 只能是相离或者包含。
如果一个三元组的区间包含了另一个三元组的区间，那么被小的三元组就要早于大的三元组操作，这显然是一个 DAG。因此只要我们确定了一些三元组满足不交或者包含，那么就是合法的。
然后就可以看出，三元组的两边是独立的，也即 \(l_i\) 和 \(r_i\) 没有关系，只需要分别满足 \(\leq x\) 和 \(\geq x\) 即可。
这变成一个匹配问题，容易得到一个贪心：从左到右对于每个差分值，先找 \(\leq x\) 能填的填进去，然后找 \(\geq x\) 能填的填进去即可。
然后可以 DP 了，设 \(f_{i,j,k}\) 表示到了第 \(i\) 个数，选了 \(j\)，差分值总和是 \(k\)。若 \(k<i\)，则说明前面有值没有用到，补齐成 \(i\)。若 \(k>n+i-1\)，说明空位太多了，则 \(k-(n+i-1)\) 就会被计入答案。这个 DP 容易前缀和优化到 \(O(n|S|(n+|S|))\)。
