UOJ #823. 【UR #26】铁轨回收

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拜谢 zaky！

首先考虑 $B_i\leq 1$ 的部分分，我们考虑采用一种“提前”的 dp 方法。我们设 $f_{i,j}$ 表示从后往前考虑到第 $i$ 个，仍有 $j$ 个 $0$ 需要变成 $1$ 的方案数。每次转移的时候枚举当前这个值最终是什么，并选择 $[i+1,n]$ 中的一个数转移过去。

进一步的，我们可以得到一个普适的 dp：设 $dp_{i,S}$ 表示从后往前到第 $i$ 个，$[i+1,n]$ 中序列为 $S$，其中 $S_i$ 表示仍有 $S_i$ 个 $i$ 需要被减少到至少 $0$ 以下。这里需要将至少容斥成恰好，也即如果枚举了 $x$ 的最终值是 $C_x(A_x\leq C_x\leq B_x)$，需要用 $x$ 最终至少是 $C_x$ 的方案数减去 $x$ 最终至少是 $C_x+1$ 的方案数，这样的复杂度是 $n\choose B$ 级别的。

这样子并不够优。可以注意到的是，刚开始 $S$ 内所有数的和是 $\leq B$ 级别的，如果能让过程中都保持这个状态，那么复杂度就是可以接受的。会使 $S$ 内所有数变大的情况是某个数顶到了 $B_x$ 的上界，我们考虑单独处理。我们可以再进行一个容斥，将 $B_x$ 顶到上界用 $x$ 随意连减去 $x$ 不顶到上界的情况。为此，我们重设 dp 状态为 $dp_{i,j,S}$，其中 $j$ 表示后面有 $j$ 个数是可以随意连的。转移需要分类讨论一下每个数是连向非随意连还是随意连。如果连向非随意连，那么 $S$ 内数的总和会至少减去 $A_x$，否则当前数也可以看作随意连，总和不变。

状态数是 $O(n^2\pi(B))$ 的，其中 $\pi(B)$ 表示 $B$ 的划分数，转移数是 $B^{1.5}$ 的，预处理划分数之间的转移以后就可以做到 $O(n^2\pi(B)B^{1.5})$ 。

不要写记搜，慢死了。

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