QOJ # 4424. Babushka and her pierogi

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好题！

首先我们考虑操作次数应该是多少，如果将每个点现在在的位置向将要到的位置连一条边，那么一个下界是 $n$ 减去环的个数。

同时我们考虑如果不算 $C$ 这个常数，最小的代价应该是多少。一个下界是 $\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{|a_i-b_i|}$，这个下界不难理解，每次移动一个 pierogi 至多只会让两个位置的 $a_i$ 向 $b_i$ 靠近一步，因此总的贡献至少是这个。

现在是有点脑洞的一步，我们可以说明这两个下界是可以同时取到的！

因为每个环独立，所以对于每个环分别考虑。环上每个位置有一个 $a_i$ 与 $b_i$，表示现在在这个位置上的数 $a_i$ 和目标的 $b_i$，我们将其看成一条从 $a_i$ 指向 $b_i$ 的线段，所有这样的线段绕成了一个环。考虑 $b_i$ 最小的一个位置，考虑这个 $b_i$ 指出的 $a_j$ 所指向的 $b_j$，若 $b_j>a_i$，则直接对 $i,j$ 操作，两个点都向目标靠近。否则归纳考虑 $b_j$ 的指向，容易发现一定存在一个可以操作，得到两个更小的环，那么就一定可以在环长 $-1$ 次以内消完，并且每次消除都让两个点均向目标靠近，所以这两个下界都是可以取到的。

现在根据这个证明过程我们有一个 $O(n^2)$ 的暴力，考虑优化。每次找到最小点的时候，我们维护两个指针，一个从这个点往前跑，一个从这个点往后跑，遇到能消的就消，直到 $b$ 最小的那个点的 $a$ 正确为止。这样的复杂度就是 $O(n\log n)$ 的，因为每次分裂的复杂度是较小的环长度，所以复杂度证明可以参考启发式分裂的复杂度，是 $O(n\log n)$。

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