CF1804H Code Lock

牛逼题，但是卡常。

首先显然指针会从密码串第 $1$ 个位置开始，因此我们需要关心的就是相邻两个位置的值。只需要求出 $c_{x,y}$ 表示前一个是 $x$，后一个是 $y$ 的个数即可。

考虑一般的按顺序填的状压，总是避免不了顺序的问题，总是与 $k!$ 有关，我们需要一个合适的计算贡献的方法。

首先考虑 $k\mid2$ 的情况，我们称第 $i$ 段为第 $i$ 个和第 $(i-2+k)\bmod k+1$ 中间那一段。同时考虑 $1$ 和第 $\frac{k}{2}+1$ 段的出现次数，可以发现：

• 每一对 $x,y$ 至多经过这两段总共一次。
• 当 $x,y$ 位于两端同一侧的时候，不会经过这两段，否则会经过这两段恰好一次。因为我们计算的是总和，所以不需要考虑到底经过了具体哪一段。

那么这个问题就变得简单起来了，我们只需要知道 $\frac{k}{2}$ 段这样的中间有什么即可。枚举第 $1$ 段和第 $\frac{k}{2}+1$ 段中间的集合是 $V$，然后设 $f_{S}$ 表示当前滑动窗口的 $\frac{k}{2}$ 中是什么，每次选出一个在 $V$ 中并且仍然在 $S$ 中的扔掉，再选一个不在 $V$ 中也不在 $x$ 中的加进来，计算贡献即可。这样的复杂度是 $O(k^2{k\choose \frac{k}{2}}^2)$，过不去。

如果能优化掉一个 $k$ 就好了！发现两步其实是独立的，因此可以先转移一边，再转移另外一边，复杂度就变成 $O(k{k\choose \frac{k}{2}}^2)$ 了。

对于 $k\nmid 2$ 的情况，只需要计算所有左端点往后 $\frac{k}{2}$ 滑动窗口的贡献，然后除以二就是答案了。

有点卡常，强制 $1$ 在第一段和第 $\frac{k}{2}+1$ 中间可以将常数变成 $\frac{1}{2}$。

submission