Miller-Rabin算法学习笔记

个人不是很理解Miller-Rabin算法的正确性，所以这篇东西可以图一乐（

确定性判素性的方法都很慢，所以要考虑随机但是错误概率低的判素方法。

首先有Fermat素性测试，即费马小定理的逆用。众所周知费马小定理有$a^{m-1}\bmod m=1$，当$m$是质数是对$a\in[1,m-1]$成立。于是当要判定一个$m$是否是质数时，我们随机取出若干个$a$，计算这个值是不是$1$，若不是则可确定$m$不是质数，否则在一定的轮数过后可以认为$m$是质数。

除了不是质数却满足费马小定理的数以外，每个数都有可能被筛查出来。如果所有数都有概率被筛查出来，那么增加轮数后这个算法就具有实际意义。但是实际上仍然有不是质数却满足费马小定理的数，因此这个方法不能用于实战。

接下来介绍二次探测定理，即对于奇素数$n$，使得$x^2\bmod n=1$的$x$有且仅有$x=1$与$x=n-1$，移项后平方差即可证明。

考虑在费马小定理的判断中加入二次探测定理。即先将$n-1$分解为$a\times 2^b$，然后随机$p$计算出$p^a\bmod n$，然后每次平方$p$，操作$b-1$次，如果结束时$b$不为$n-1$或$1$，则代表发现新的平方根，$n$不为素数。

听说操作$k$次的正确率是$4^{-k}$，不知道对不对。

LOJ模板题代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Gc() getchar() 
#define Me(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define Mc(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define d(x,y) ((m)*(x-1)+(y))
#define R(n) (rnd()%(n))
#define Pc(x) putchar(x)
#define LB lower_bound
#define UB upper_bound
#define PB push_back
using ll=long long;using db=double;using lb=long db;using ui=unsigned;using ull=unsigned ll;
using namespace std;const int N=4e5+5,M=N*4+5,K=1e5+5,mod=998244353,Mod=mod-1;const ll INF=2e18+7;const db eps=1e-5;mt19937 rnd(time(0));
ll x;
ll mpow(ll x,ll p,ll y){ll Ans=1;while(y) y&1&&(Ans=(__int128)Ans*x%p),y>>=1,x=(__int128)x*x%p;return Ans;}
int CK(ll n){
	if(n<3||n%2==0) return n==2;ll a=n-1,b=0;while(a%2==0) a/=2,b++;
	int t=8,i;while(t--){
		ll x=R(n-2)+2,p=mpow(x,n,a);
		if(p==1) continue;
		for(i=0;i<b;i++){
			if(p==n-1) break;p=(__int128)p*p%n;
		}if(i>=b) return 0;
	}return 1;
}
int main(){
	freopen("1.in","r",stdin);
	int i,j;while(~scanf("%lld",&x)) puts(CK(x)?"Y":"N");
}