关于调和级数的一些思考

近期我在做[NOI2010] 能量采集写了一个莫反+整除分块，然而我并不会算他的复杂度。
可以发现这个的复杂度是这样的$O(\sum\limits_{i=1}^{n}{\sqrt{\frac{n}{i}}})$
由调和级数可以知道上面这个东西是不超过$O(nlogn)$的。但是实际上这东西和线性的差不多快。
我实测了$n=10^8$的数据然而运算次数只有$2.6\times 10^8$的样子。
由此我觉得这个东西是线性的。
于是我尝试证明了一下上界:
$\sum\limits_{i=1}^{n}{\sqrt{\frac{n}{i}}}=\sqrt n\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt i}}$
先把前面那个系数扔了看后面，然后如果把每个$\sqrt i$变成比它小的整数那么就有$\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt i}}\leq \sum\limits_{i=1}^{\sqrt n}{\frac{1}{i}\times (2\times i+1)}$
后面那个就是$\sqrt n+logn$
所以整体复杂度上界是$O(n+\sqrt nlogn)$
然而这个下界我不太证得来，很不严谨的下界是$O(n)$，希望有人能给出更严谨的下界。