差分学习笔记

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首先明确，这是一道差分裸题，不要被它的蓝标签吓到。
算法简介:差分是一种和前缀和类似的数据结构，毕竟在差分过程中要进行前缀和，所以前缀和是差分的基础。差分能做到\(O(1)\)修改，但要\(O(n)\)查询，适用范围不如前缀和。差分适合查询极少，修改大大多于查询的题目。
算法实现: 首先我们定义差分数组s与基本数组a。
修改:我们要让\(x=5\)，\(y=9\)区间内加上\(z=5\)，那么我们有一个方法:\(f_x+=z;f_{y+1}-=z\);
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查询:那我们要查询\(x=5\)，\(y=9\)区间，怎么办呢?因为前缀和是差分的基础，所以先做一遍前缀和。
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那么原数组就出来了。
那怎么查询呢?再做一遍前缀和呗!
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再按照前缀和用\(a_y-a_{x-1}=25-0=25\)即得答案。
按照前缀和的思路，二维差分怎么办?怎么修改\(x1=2\)，\(y1=5\)到\(x2=4\)，\(y2=7\)使其加上\(z=5\)?
首先根据套路，\(a_{x,y}\)肯定要修改，那剩余怎么办?怎么推?
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那先做一遍前缀和吧!
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做到这里时不对了，\(a_{2,8}\)不应该有数值，所以在\(a_{2,8}\)上放一个\(-z\)。
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0 0 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0
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又不对了，\(a_{5,5}\)不应该有数值，所以还要在\(a_{5,5}\)上放一个\(-z\)
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0 0 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 0 0
但\(a_{5,8}\)不应该有负数啊，所以亡羊补牢地在\(a_{5,8}\)补上一个\(z\)。
所以二维差分修改就是:
\(a_{x1,y1}+=z\)
\(a_{x1,y2+1}-=z\)
\(a_{x2+1,y1}=z\)
\(a_{x2+1,y2+1}+=z\)
有感觉和前缀和有点相似。
两个基础数据结构都指向了同一个数学模型:韦恩图!
那么对于这道题，只要枚举锤子的长和宽再枚举每一个点进行二维差分就好了。
个人理解: 差分数组的修改是个很好的方法，但它的代价是复杂的查询。若有其他东西来维护差分数组的查询就很好了。
代码实现:

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,a[239][239],b[239][239];
int main(){
    register int i,j,x,y,l,r,ans=0,tot,flag;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]),ans+=a[i][j];
    }
    for(i=n;i>=1;i--){
        for(j=m;j>=1;j--){
            if(ans%i==0&&ans%j==0){
                flag=0;
                memset(b,0,sizeof(b));
                for(x=1;x<=n;x++){
                    for(y=1;y<=m;y++){
                        b[x][y]+=b[x-1][y]+b[x][y-1]-b[x-1][y-1];
                        if(a[x][y]<b[x][y]){flag=1;break;}
                        b[x+i][y]-=a[x][y]-b[x][y];
                        b[x][y+j]-=a[x][y]-b[x][y];
                        b[x+i][y+j]+=a[x][y]-b[x][y];
                        b[x][y]=a[x][y];
                    }
                    if(flag) break;
                }
                if(!flag){
                    printf("%d",ans/i/j);
                    return 0;
                }
            }
        }
    }
}

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这道题是提高组原题，可以用线段树维护区间中是否有少于\(0\)的数字，而且思路更简单，但对于差分数组的进一步了解还是很有帮助的。
对于这道题，用二分分出哪一个订单不满足要求，并用差分数组验证，最后是一遍查询。时间复杂度\(O(nlog^2n)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace  std;
int n,m,s[1000001],d[1000001],q[1000001],a[1000001],b[1000001],c[1000001],l,r,mid,flag;
int main() {
	//freopen("1.in","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]);
	for(register int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
	l=0,r=m+1;
	while(l+1<r){
		flag=0;
		memset(d,0,sizeof(d));
		mid=(l+r)>>1;
		for(register int i=1;i<=mid;i++) d[b[i]]+=a[i],d[c[i]+1]-=a[i];
		for(register int i=1;i<=n;i++){
			d[i]+=d[i-1];
			if(d[i]>s[i]){flag=1;break;}
		}
		if(flag) r=mid;
		else l=mid;
	}
	if(l==m) printf("0");
	else printf("-1\n%d",r);
	return 0;
}