luogu P4933 大师

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很容易看出这是一道线性规划(虽然感觉本质上线性规划不应该单独被列出来)
数据范围提示我们，这道题要用\(O(nv)\)的算法
而状态转移是很容易发现要两个状态:当前所在的点(这是一般线性规划的套路)和这个等差数列的公差然后就可以很容易地得到单调不递减的等差数列的状态转移方程:\(f_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{i-1}{f_{k,j}[a_k+j=a_i]}\%mod\)
而当要得到单调不递增的等差数列时，状态转移方程就变成了\(f_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{i-1}{f_{k,j}[a_k-j=a_i]}\%mod\)
所以跑两遍\(dp\)就好啦，时间复杂度\(O(n^2v)\),有\(60\)分
代码实现:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod 998244353
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
int f[1039][20039],q[1039][20039],n,m,ans,tot,pus=1e9,a[1039];
int main(){
	register int i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),tot=max(tot,a[i]),pus=min(pus,a[i]);
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=0;j<=tot-a[i];j++){
			for(k=1;k<i;k++) if(a[k]==a[i]+j)f[i][j]=(f[i][j]+f[k][j])%mod;
			ans=(ans+f[i][j])%mod;
			f[i][j]=(f[i][j]+1)%mod;
		}
		for(j=tot-a[i]+1;j<=tot;j++) f[i][j]=1;
		ans=(ans+1)%mod;
	}
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=a[i];j++){
			for(k=1;k<i;k++) if(a[k]==a[i]-j)f[i][j]=(f[i][j]+f[k][j])%mod;
			ans=(ans+f[i][j])%mod;
			f[i][j]=(f[i][j]+1)%mod;
		}
		for(j=a[i]+1;j<=tot;j++) f[i][j]=1;
	}
	printf("%d\n",ans%mod);
}

我们的状态是没办法再压缩的，但转移有一重\(O(n)\)的循环，我们可以考虑优化它
以第一个\(dp\)为例，我们其实只要找\(a_k+j=a_i\)的状态进行转移就好了，其他遍历就是在浪费时间
转化一下方程，得到\(a_k=a_i-j\)对于一个状态，只要找到有用的\(a_k\)就好了，可以开一个\(vector\)，把每个存进去，要用的时候遍历，复杂度\(O(nv)\)
代码实现:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define mod 998244353
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
int f[1039][20039],n,m,ans,tot,pus=1e9,a[1039];
vector<int> s[20039];
int main(){
	register int i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),tot=max(tot,a[i]),pus=min(pus,a[i]);
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=0;j<=tot-a[i];j++){
			for(k=0;k<s[a[i]+j].size();k++) f[i][j]=(f[i][j]+f[s[a[i]+j][k]][j])%mod;
			ans=(ans+f[i][j])%mod;
			f[i][j]=(f[i][j]+1)%mod;	
		}
		s[a[i]].push_back(i);
		for(j=tot-a[i]+1;j<=tot;j++) f[i][j]=1;
		ans=(ans+1)%mod;
	}
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=a[i];j++){
			for(k=0;k<s[a[i]-j].size()&&s[a[i]-j][k]<i;k++) f[i][j]=(f[i][j]+f[s[a[i]-j][k]][j])%mod;
			ans=(ans+f[i][j])%mod;
			f[i][j]=(f[i][j]+1)%mod;
		}
		for(j=a[i]+1;j<=tot;j++) f[i][j]=1;
	}
	printf("%d\n",ans);
}