[LeetCode] 4. Median of Two Sorted Arrays

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问题介绍

这是个超级超级经典的分治算法!!这个问题大致是说,如何在给定的两个有序数组里面找其中的中值,或者变形问题,如何在2个有序数组数组中查找Top K的值(Top K的问题可以转换成求第k个元素的问题)。这个算法在很多实际应用中都会用到,特别是在当前大数据的背景下。

我觉得下面的这个思路特别好,特别容易理解!!请按顺序看。是来自leetcode上的stellari英文答案,我整理并自己修改了一下。

预备知识

先解释下“割”

我们通过切一刀,能够把有序数组分成左右两个部分,切的那一刀就被称为割(Cut),割的左右会有两个元素,分别是左边最大值和右边最小值。

我们定义L = Max(LeftPart),R = Min(RightPart)

Ps. 割可以割在两个数中间,也可以割在1个数上,如果割在一个数上,那么这个数即属于左边,也属于右边。(后面讲单数组中值问题的时候会说)

比如说[2 3 5 7]这个序列,割就在3和5之间 
[2 3 / 5 7] 
中值就是(3+5)/2 = 4

如果[2 3 4 5 6]这个序列,割在4上,我们可以把4分成2个 
[2 3 (4/4) 5 7] 
中值就是(4+4)/2 = 4

这样可以保证不管中值是1个数还是2个数都能统一运算。

割和第k个元素

对于单数组,找其中的第k个元素特别好做,我们用割的思想就是:

常识1:如果在k的位置割一下,然后A[k]就是L。换言之,就是如果左侧有k个元素,A[k]属于左边部分的最大值。(都是明显的事情,这个不用解释吧!)

双数组

我们设: 
Ci为第i个数组的割。 
Li为第i个数组割后的左元素. 
Ri为第i个数组割后的右元素。

这里写图片描述

如何从双数组里取出第k个元素

  1. 首先Li<=Ri是肯定的(因为数组有序,左边肯定小于右边)
  2. 如果我们让L1<=R2 && L2<=R1

这里写图片描述

  1. 那么左半边 全小于右半边,如果左边的元素个数相加刚好等于k,那么第k个元素就是Max(L1,L2),参考上面常识1。
  2. 如果 L1>R2,说明数组1的左边元素太大(多),我们把C1减小,把C2增大。L2>R1同理,把C1增大,C2减小。

假设k=3

对于 
[1 4 7 9] 
[2 3 5]

设C1 = 2,那么C2 = k-C1 = 1 
[1 4/7 9] 
[2/3 5]

这时候,L1(4)>R2(3),说明C1要减小,C2要增大,C1 = 1,C2=k-C1 = 2 
[1/4 7 9] 
[2 3/5]

这时候,满足了L1<=R2 && L2<=R1,第3个元素就是Max(1,3) = 3。

如果对于上面的例子,把k改成4就恰好是中值。

下面具体来看特殊情况的中值问题。

双数组的奇偶

中值的关键在于,如何处理奇偶性,单数组的情况,我们已经讨论过了,那双数组的奇偶问题怎么办,m+n为奇偶处理方案都不同,

让数组恒为奇数

有没有办法让两个数组长度相加一定为奇数或偶数呢?

其实有的,虚拟加入‘#’(这个trick在manacher算法中也有应用),让数组长度恒为奇数(2n+1恒为奇数)。 
Ps.注意是虚拟加,其实根本没这一步,因为通过下面的转换,我们可以保证虚拟加后每个元素跟原来的元素一一对应

之前len之后len
[1 4 7 9] 4 [# 1 # 4 # 7 # 9 #] 9
[2 3 5] 3 [# 2 # 3 # 5 #] 7

映射关系

这有什么好处呢,为什么这么加?因为这么加完之后,每个位置可以通过/2得到原来元素的位置。

/原位置新位置除2后
0 1 0 1
5 2 5 2

在虚拟数组里表示“割”

不仅如此,割更容易,如果割在‘#’上等于割在2个元素之间,割在数字上等于把数字划到2个部分。

奇妙的是不管哪种情况:

Li = (Ci-1)/2 
Ri = Ci/2

例: 
1. 割在4/7之间‘#’,C = 4,L=(4-1)/2=1 ,R=4/2=2 
刚好是4和7的原来位置! 
2. 割在3上,C = 3,L=(3-1)/2=1,R=3/2 =1,刚好都是3的位置!


剩下的事情就好办了,把2个数组看做一个虚拟的数组A,目前有2m+2n+2个元素,割在m+n+1处,所以我们只需找到m+n+1位置的元素和m+n+2位置的元素就行了。 
左边:A[m+n+1] = Max(L1+L2) 
右边:A[m+n+2] = Min(R1+R2)

Mid = (A[m+n+1]+A[m+n+2])/2 
= (Max(L1+L2) + Min(R1+R2) )/2

至于在两个数组里找割的方案,就是上面的方案。

分治的思路

有了上面的知识后,现在的问题就是如何利用分治的思想。

怎么分?

最快的分的方案是二分,有2个数组,我们对哪个做二分呢? 
根据之前的分析,我们知道了,只要C1或C2确定,另外一个也就确定了。这里,为了效率,我们肯定是选长度较短的做二分,假设为C1。

怎么治?

也比较简单,我们之前分析了:就是比较L1,L2和R1,R2。 
L1>R2,把C1减小,C2增大。—> C1向左二分 
L2>R1,把C1增大,C2减小。—> C1向右二分

越界问题

如果C1或C2已经到头了怎么办? 
这种情况出现在:如果有个数组完全小于或大于中值。可能有4种情况: 
C1 = 0 —— 数组1整体都比中值大,L1 >R2,中值在2中 
C2 = 0 —— 数组1整体都比中值小,L1

代码

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length,n = nums2.length;
        if(m>n){        //保证nums1是短的那个数组
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1) ;
        }
        int L1=0,L2=0,R1=0,R2=0,c1,c2,low = 0, high = 2*m;  //我们目前是虚拟加了'#'所以数组1是2*m长度
        while(low <= high){        //二分
            c1 = (low + high) /2;
            c2 = m+n-c1;
            L1 = (c1 == 0) ? Integer.MIN_VALUE :nums1[(c1-1)/2];
            R1 = (c1 == 2*m) ? Integer.MAX_VALUE: nums1[c1/2];
            L2 = (c2 == 0) ? Integer.MIN_VALUE :nums2[(c2-1)/2];
            R2 = (c2 == 2*n) ? Integer.MAX_VALUE : nums2[c2/2];
            
            if(L1 > R2){
                high = c1-1;
            }else if(L2 > R1){
                low = c1 +1;
            }else
                break;
            
        }
        return (Math.max(L1,L2)+ Math.min(R1,R2))/2.0;
    }
}

 

 
posted @ 2018-02-26 10:56  荒野第一快递员  阅读(193)  评论(0编辑  收藏  举报