问题 C: 「Usaco2010 Dec」奶牛健美操O(∩_∩)O

题目描述

Farmer John为了保持奶牛们的健康，让可怜的奶牛们不停在牧场之间的小路上奔跑。这些奶牛的路径集合可以被表示成一个点集和一些连接 两个顶点的双向路，使得每对点之间恰好有一条简单路径。 
简单的说来， 这些点的布局就是一棵树，且每条边等长，都为1。 对于给定的一个奶牛路径集合，精明的奶牛们会计算出任意点对路径的最大值， 我们称之为这个路径集合的直径。如果直径太大，奶牛们就会拒绝锻炼。 Farmer John把每个点标记为1..V (2 <= V <= 100,000)。为了获得更加短的直径，他可以选择封锁一些已经存在的道路，这样就可以得到更多的路径集合， 从而减小一些路径集合的直径。 我们从一棵树开始，FJ可以选择封锁S (1 <= S <= V-1)条双向路，从而获得 S+1个路径集合。你要做的是计算出最佳的封锁方案，使得他得到的所有路径集合 直径的最大值尽可能小。  
Farmer John告诉你所有V-1条双向道路，每条表述为：顶点A_i (1 <= A_i <= V) 和 B_i (1 <= B_i <= V; A_i!= B_i)连接。  
我们来看看如下的例子：线性的路径集合(7个顶点的树) 1---2---3---4---5---6---7 如果FJ可以封锁两条道路，他可能的选择如下： 1---2 | 3---4 | 5---6---7 这样最长的直径是2，即是最优答案(当然不是唯一的)。 

输入

第1行： 两个空格分隔的整数V和S  
第2~V行： 两个空格分隔的整数A_i和B_i 

输出

输出1行：一个整数，表示FJ可以获得的最大的直径。

样例输入 Copy

7 2 
6 7 
3 4 
6 5 
1 2 
3 2 
4 5 

样例输出 Copy

2 

思路：

• 这题感觉还是挺好想的，一看到最值怎么样，第一反应就是二分之类的东西，然后就发现要一些状态的转移，然后就很容易想到DP。

• 我们可以二分该最小值，然后验证其是否合法，即保证最长链长度不可大于二分的答案

• 我们设dp[i]表示以第ii个节点为根的子树中，合法的最长链两端点路径不跨过根节点的链的长度

• 然后我们就可以用dp【i】计算要砍去多少条边，从而判断当前二分出的答案的合法性

• 虽然感觉很简单，但一细想发现转移并不是那么好打

• 显然直接求max(f[son])是不可行的，因为这不保证合法，但我们想，当我们选出两条儿子所在的最长链两端点路径不跨过根节点的链，发现当他们接在一起时长度过大，需要从中砍断的时候，会发现只有两种情况

• 把最长链链顶的边给砍了最优（如果砍的不是链顶的边，或者砍了较短的链，那就有可能还有其他不合法的情况，还要再砍一次）

• 砍了之后，不会对其父节点造成影响（由于砍完之后，这两个点都不在一个连通块里，固然不会有影响）。

• 至此这个题目基本上就可以秒切了，只要将当前点的所有dp【son】从大到小排个序，依次判断相邻的两个最长链两端点路径不跨过根节点的链是否合法，若合法就可以吧dp【i】赋值，否则就继续找，然后砍的数目加一。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
struct node
{
    int to;
    int next;
}way[maxn];
int head[maxn];
int tot=0;
int fa[maxn];
int top,sumn;
int x,y,s,n;
int a[maxn];
int add(int x,int y)
{
    way[++tot].next=head[x];
    way[tot].to=y;
    head[x]=tot;
}
int dfs(int x,int f,int cut)
{
    fa[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=way[i].next)
    {
        if(way[i].to!=f)
        {
            dfs(way[i].to,x,cut);
        }
    }
    top=0;
    for(int i=head[x];i;i=way[i].next)
    {
        if(way[i].to!=f)
        {
            a[++top]=fa[way[i].to]+1;
        }
    }
    sort(a+1,a+1+top);
    while(top&&a[top]+a[top-1]>cut)
    {
        top--;
        sumn++;
    }
    fa[x]=a[top];
}
int check(int x)
{
    sumn=0;
    dfs(1,0,x);
    return sumn<=s;
}
int main()
{
    cin>>n>>s;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>x>>y;
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
     
    int l=0;
    int r=n;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))
        {
            r=mid;
        }
        else
        {
            l=mid+1;
        }
    }
    cout<<l<<endl;
    return 0;
}