《算法 - 时间复杂度的计算》

一：为什么要计算时间复杂度？

　　- 一说起时间复杂度，就和算法扯上了关系，那么就有了一个问题，在我们写好了一个算法之后，如何测试这个算法的好或者不好呢？

 

　　　　- 事后统计法，指的是在算法完成之后，通过实际的运行来检验算法的好坏。但是，这样也有两个致命的缺点

　　　　　　- 如果算法不行，那么我们实际运行图了个什么？

　　　　　　- 机器性能一会好一会不行怎么破？

 

　　　　- 因为 事后统计法 的不靠谱，所以我们采用了 事前分析 的方法，也就是我们说的 时间复杂度。

　　　　　　- 不过因为是事前统计，其算法本身也并没有通过实际环境的检验。

　　　　　　- 所以，时间复杂度，其实只是一个度量，不是真正的运行时间的投影。

　　　　　　- 也就是说只是给了你一个尺子去量一下这个算法的耗时，不是这个算法实现以后真的会耗时多少，也不是两个不同的算法的耗时比例真的可以这么比。

 

二：时间复杂度的定义？

　　-  语句执行次数 T(n) 是问题规模 n 的函数

　　-  继而分析 T(n) 随着 n 的变化并确定 T(n) 的量级

　　-  记做 T(n) = O(f(n)), 表示随着 n 的增大，时间的增长率 和 fn 增长率相同

　　-  一般用 O() 表示，也称 大 (O) 记法

　　- 简单来说，记住这个公式 f(n) = n 

 

三：如何计算算法的时间复杂度？

　　- 推导大 O() 计数法

　　　　- 用常数 1 来代替 运行时间的加法常数

　　　　- 在修改后的运行次函数中，只保留最高阶

　　　　- 如果最高阶存在且不是1，则去除这个项相乘的常数

　　- 下面来尝试如何计算时间复杂度

 

四：常数阶O (1)

• <?php
      $sum = 0;                    // 执行一次
      $n = 100;                    // 执行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 执行一次
      print_r($sum);               // 执行一次

　　- 按照定义，这个算法的运行次数是 f(n) = 4, 根据我们的 大 O 推导算法， 第一步就是将 4 变为 1。

　　- 在保留最高阶时，发现这个算法也没有最高阶，所以这个算法的时间复杂度为 O(1)

 

• <?php
      // 如果执行10次呢
      $sum = 0;                    // 执行一次
      $n = 100;                    // 执行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 执行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 执行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 执行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 执行一次
      $sum = (1 + n) * n/2;        // 执行一次
      print_r($sum);               // 执行一次

　　- 事实上无论 n 为多少，都是时间恒定的算法，也是为常数阶 O(1)

 

 五：线性阶O (n)

• <?php
      $n = n;
      foreach ($n as $v) {
          // 时间复杂度为 O(1) 的序列
      }

　　-  按照定义，这个算法的运行次数是 f(n) = n, 根据我们的 大 O 推导算法，保存最高阶的 1，

　　- 也是为线性阶 O(n)

 

 六：对数阶O (logn)

• <?php
      $count = 1;
      while ($count < n) {
          $count = $count * 2;
          // 时间复杂度为 O(1) 的序列
  　  }

　　- 由于 count 每次 X2 ,有多少个 2 相乘后，便会退出循环。

　　- 由 2x=n 得到 x = log2n

　　- 对数阶O (logn)

 

 七：平方阶O (n2)

• <?php
      foreach ($n as $v) {
          func($v);
      }
  
      function func () {
          for ($i = 0; $i < n; $i++) {
              // 时间复杂度为 O(1) 的
          }
      }

　　- 外层调用了一个循环，循环 n 次去执行 func 函数

　　- func 函数内部又执行一次循环输出

　　- 也就是说，这个算法一共执行了 f(n) = n2 次

• // 等价于
  <?php
      foreach ($n as $v) {
          for ($i = 0; $i < n; $i++) {
              // 时间复杂度为 O(1) 的
          }
      }

　　- 也就是 平方阶O (n2)

 

七：时间复杂度耗时大小排列(越小越好)

　　- O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(1) < O(nn)

　　- 一般超过 O(n2) 的，时间太长，就不做计算了，也就是说，一个算法，最长耗时不能超过 O(n2)