次小生成树
别人都写最小生成树，我来个次小的，您可别看是次小，可是比最小生成树难了不少。（虽然可能对于某个强的了不得的大佬（点击进入翻译）来说，他应该会很“傲慢”的说：“这不很简单吗”） 当时五一我在QBXT上课的时候这个题我想了几想我才想出来的。
下面我给出代码（不会前向星和并查集的去看我的其他博客）
以下代码是在Kruskal算法的基础上进行修改，加入对x，y两点在最小生成树上路径中最长边的计算，存入length[ ][ ]数组。使用链式前向星记录每个集合都有哪些点。为了合并方便，除了head[ ]记录每条邻接表的头节点的位置外，end[ ]记录每条邻接表尾节点的位置便于两条邻接表合并。mst为最小生成树的大小，seemst为次小生成树的大小。在存在权值相同的边的情况下，seemst有可能等于mst。
并查集部分代码略详见我的另一篇博客（在此只给出声明）
1 //并查集部分 2 const int maxn = 1010; 3 int UFSTree[maxn]; 4 int find(int x); 5 void merge(int x , int y);
下面是Kruskal部分
1 //kruskal 2 const int maxe = 100010; 3 struct node{ 4 int a , b; 5 int w; 6 bool select; 7 }edge[maxe]; 8 9 bool cmp(node a , node b){ 10 if(a.w != b.w) return a.w < b.w; 11 if(a.a != b.a) return a.a < b.a; 12 return a.b < b.b; 13 } 14 15 //链式前向星的数据结构 16 struct node1{ 17 int to; 18 int next; 19 }; 20 21 node1 link[maxn]; //边数组 22 int il; //边数组中数据的个数 23 int head[maxn]; //邻接表的头节点位置 24 int end[maxn]; //邻接表的尾节点位置 25 int length[maxn][maxn]; //每两点在最小生成树上路径中最长的边 26 void kruskal(node * edge , int n , int m){ 27 int k = 0; 28 int i , x , y; 29 int w , v; 30 /* 初始化邻接表，对于每个节点添加一条指向其自身的边， 31 表示以i为代表元的集合只有点i */ 32 for(il = 0 ; il < n ; il ++){ 33 link[il].to = il + 1; 34 link[il].next = head[il + 1]; 35 end[il + 1] = il; 36 head[il + 1] = il; 37 } 38 sort(edge + 1 , edge + 1 + m , cmp); 39 for(i = 1 ; i <= m ; i ++){ 40 if(k == n - 1)break; 41 if(edge[i].w < 0)continue; 42 x = find(edge[i].a); 43 y = find(edge[i].b); 44 if(x != y){ 45 //修改部分，遍历两个节点所有的集合 46 for(w = head[x] ; w != -1 ; w = link[w].next){ 47 for(v = head[y] ; v != -1 ; ){ 48 /*每次合并两个等价类的时候，分别属于两个等价类的两个 49 点间的最长边一定是当前加入的边*/ 50 length[link[w].to][link[v].to] = length[link[v].to][link[w].to] = edge[i].w; 51 } 52 } 53 //合并两个邻接表 54 link[end[y]].next = head[x]; 55 end[y] = end[x]; 56 merge(x , y); 57 k ++; 58 edge[i].select = 1; 59 } 60 } 61 } 62 int main(){ 63 //先初始化和建图，然后进行下面的操作 64 int mst , secmst; 65 kruskal(edge , n , m ); 66 mst = 0; 67 for(i = 1 ; i <= m ; i ++){ 68 if(edge[i].select)mst += edge[i].w; 69 } 70 secmst = INF; 71 for(i = 1 ; i <= m ; i ++){ 72 if(! edge[i].select)secmst = min (secmst , mst + edge[i].w - length[edge[i].a][edge[i].b]); 73 } 74 }
整个算法运行了一次Kruskal 算法，时间复杂是O(m log m)，同时又对整个length[ ][ ] 进行赋值， 时间复杂度为O(n²)，最终又进行了时间复杂度为O(m)的遍历，总的时间复杂度为O(m log m + n²)。
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