刚体转动的稳定性

　　若定点运动的刚体所受外力对固定点O的主矩 $T=0$ ，则这种情况称为刚体定点运动的欧拉情况，相应的刚体常称为欧拉陀螺。刚体自由转动时外力矩为零，因此角动量守恒，角动量平方也守恒，即： $L^2=I^2_1\omega^2_x+I^2_2\omega^2_y+I^2_3\omega^2_z=常数$

　　同时它的能量也守恒： $E=\frac{1}{2}(I_1\omega^2_x+I_2\omega^2_y+I_3\omega^2_z)=常数$

　　刚体转动的稳定性是讨论什么条件下刚体的角速度不随时间变化。显然，只有外力矩为零时才有可能，即只有欧拉陀螺才谈得上转动的稳定性。假设刚体惯性矩各不相同，即 $I_{zz}>I_{yy}>I_{xx}$ ，如果刚体在没有外力矩作用下绕其惯性主轴自由转动，在发生微小扰动的情况下转动稳定性是怎样的呢？设刚体初始时刻绕X轴旋转，则角速度可以表达为 $\mathbf{\omega}=\omega_x \mathbf{e_x}$ ， $\mathbf{e_x}$ 是X轴基向量。在刚体上施加一点微小的扰动，其角速度变为 $\mathbf{\omega}=\omega_x \mathbf{e_x}+\lambda \mathbf{e_y}+\mu\mathbf{e_z}$

　　 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是很小的量，将角速度带入欧拉方程可得到： $I_{xx}\dot{\omega}_x-(I_{yy}-I_{zz})\lambda\mu=0\\I_{yy}\dot{\lambda}-(I_{zz}-I_{xx})\omega_x\mu=0 \\I_{zz}\dot{\mu}-(I_{xx}-I_{yy})\omega_x\lambda=0$

　　 $\lambda\mu$ 是二阶小的量，因此在方程中可以忽略。因此从上面第一个方程中可以得到X轴角加速度为零，即 $\omega_x$ 近似是恒定值。其他两个方程可以写为： $\dot{\lambda}=[\frac{(I_{zz}-I_{xx})\omega_x}{I_{yy}}]\mu\\ \dot{\mu}=-[\frac{(I_{yy}-I_{xx})\omega_x}{I_{zz}}]\lambda$

　　对上面第一个等式两边对时间求导后带入第二个等式中，消除 $\dot{\mu}$ 可得到一个关于 $\lambda$ 的二阶常系数齐次线性微分方程： $\ddot{\lambda}+[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{xx})}{I_{yy}I_{zz}}]\omega^2_x\lambda=0$

　　显然 $\mu$ 也满足上面的微分方程。根据之前惯性矩大小的设定，方程中方括号的那一项为正值，因此根据二阶常系数齐次线性方程判别式的符号（ $\Delta=p^2-4q<0$ ）可知其通解为： $\lambda=\lambda_0cos(\Omega_xt-\alpha)$

　　其中， $\lambda_0$ 和 $\alpha$ 是常数，且有： $\Omega_x=[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{xx})}{I_{yy}I_{zz}}]^{1/2}\omega_x$

　　从微分方程的解可以看出，刚体会以角频率 $\Omega_x$ 绕其初始状态做正弦振荡。即刚体绕其X轴旋转时，转动在微小扰动的作用下是稳定的，因为扰动角速度 $\lambda$ 的幅值不随着时间增长而放大发散。

　　如果刚体初始时刻绕着Z轴旋转，并施加了一个微小的扰动。这时情形与绕X轴旋转类似，我们可以写出振荡的角频率： $\Omega_z=[\frac{(I_{zz}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{yy}}]^{1/2}\omega_z$

　　因此，刚体绕Z轴旋转时对微小扰动也是稳定的。

　　假设刚体绕Y轴旋转，即绕中间惯量轴旋转，受到微小扰动： $\mathbf{\omega}=\lambda \mathbf{e_x}+\omega_y \mathbf{e_y}+\mu\mathbf{e_z}$ ，容易证明 $\lambda$ 满足下面的微分方程： $\ddot{\lambda}-[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{zz}}]\omega^2_y\lambda=0$

　　该微分方程的通解为： $\lambda=Ae^{kt}+Be^{-kt}$

　　其中A，B为常数，且有： $k=[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{zz}}]^{1/2}\omega_y$

　　这种情况下扰动角速度的幅值随着时间指数增长，转动稳定性被破坏。因此刚体绕Y轴旋转时对微小扰动不稳定。

　　结论：如果欧拉情况下刚体惯性主轴的三个转动惯量不相同，则绕最大和最小转动惯量对应的轴的旋转是稳定的，绕中间轴的旋转是不稳定的。如果其中有两个转动惯量相同，则可以证明刚体只有绕不同的那个轴旋转是稳定的。比如 $I_{xx}=I_{yy}\neq I_{zz}$ ，则只有绕Z轴的转动是稳定的。