指数平滑法

一次移动平均法

　　一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度的平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机性因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化。

　　移动平均法的优点有：1. 计算量小；2. 移动平均线能较好的反应时间序列的趋势及其变化。

　　移动平均法的两个主要限制：1. 计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量数据时，就必须存储大量数据；2. N个过去观察值中每一个权值都相等，而早于(t-N+1)期的观察值的权值为0，但实际上往往是最近观察的数据包含更多信息，应具有更大权重。

一次指数平滑法

　　一次指数平滑法是一种特殊的加权平均法，对本期观察值和本期预测值赋予不同的权重，求得下一期预测值的方法。这种方法既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题。其通式为：

$F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)F_t$

　　 $F_{t+1}$ 为t+1期的预测值， $x_t$ 为t期实际观测值， $\alpha$ 为权值（也称为平滑系数）。根据通式，t期预测值 $F_t=\alpha x_{t-1}+(1-\alpha)F_{t-1}$ ，将其代入上式中得到 $F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)[\alpha x_t+(1-\alpha)F_{t-1}]$

　　而t-1期的预测值又可以写为： $F_{t-1}=\alpha x_{t-2}+(1-\alpha)F_{t-2}$ ，将其代入上式可得

$F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)\alpha x_{t-1}+(1-\alpha)^2\alpha x_{t-2}+(1-\alpha)^3F_{t-2}$

　　根据以上规律，通式可以写为如下形式：

$F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)\alpha x_{t-1}+(1-\alpha)^2\alpha x_{t-2}+(1-\alpha)^3\alpha x_{t-3}+...+(1-\alpha)^n\alpha x_{t-n}+...+(1-\alpha)^tF_1$

　　由于 $(1-\alpha)$ 的取值在0到1之间，所以 $(1-\alpha)^n$ 的值会越来越小，即离t+1期越久远的观测值，对t+1期的预测值的影像越小。式子中最后一项的 $F_1$ 就是第一期的预测值（初始值），通常可以取第一期的实际值为初值或者取最初几期的平均值为初值（一般分为两种情况：当样本为大样本时（n>42），F₁一般以第一期的观察值代替；当样本为小样本时（n<42），F₁一般取前几期的平均值代替）。当t很大时 $(1-\alpha)^tF_1$ 非常接近0，所以 $F_1$ 在式子中的影响并不大。用文字描述该通式就是：对离预测期较近的观察值赋予较大的权数，对离预测值较远的观察值赋予较小的权数，权数由近到远按指数规律递减，所以叫做指数平滑法。

　　下面举个例子来说明指数平滑法的计算方法。某产品过去20个月的销售数据如下：

　　C列为指数平滑法计算得到的预测值，F1的值为前三期的平均值，即在C2处输入=AVERAGE(B2:B4)，C3处输入 $=\$E\$1*B2+(1-\$E\$1)*C2$ ，E1的值是指数平滑系数，C3中引用到E1的值需要有绝对引用，这样把C3处的公式下拉复制到C21时，公式永远都是引用E1的指数平滑系数。得出来的结果如下图：

　　可以看到，指数平滑法进行预测，是有滞后作用的，这是指数平滑法的一个缺点。要对第21期进行预测，只需在A22处输入21，把公式下拉复制到C22即可。

　　一次指数平滑法比较简单，优点在于它在计算中将所有的观察值在考虑在内，对各期按时期的远近赋予不同的权重，使预测值更接近实际观察值。但是也存在一些问题，问题之一是要找到合适的α值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。

二次移动平均法

　　二次移动平均法，是对一次移动平均数再进行第二次移动平均，再以一次移动平均值和二次移动平均值为基础建立预测模型，计算预测值的方法。运用一次移动平均法求得的移动平均值存在滞后偏差。特别是在时间序列数据呈现线性趋势时，移动平均值总是落后于观察值数据的变化。二次移动平均法，正是要纠正这一滞后偏差，建立预测目标的线性时间关系数学模型，求得预测值。二次移动平均法适用于有明显趋势变动的市场现象时间序列的预测。线性二次移动平均法的通式为：

$\begin{align*} &S_t^1=\frac{x_t+x_{t-1}+x_{t-2}+...+x_{t-N+1}}{N}\\ &S_t^2=\frac{S_t^1+S_{t-1}^1+S_{t-2}^1+...+S_{t-N+1}^1}{N}\\ &a_t=2S_t^1-S_t^2\\ &b_t=\frac{2}{N-1}(S_t^1-S_t^2)\\ &F_{t+T}=a_t+b_tT \end{align*}$

　　式中， $S_t^1$ 为第t期的一次移动平均值； $S_t^2$ 为第t期的二次移动平均值；N为计算移动平均值的跨越期；T为预测超前期数； $a_t$ 为截距，即第t期现象的基础水平； $b_t$ 为斜率，即第t期现象的单位时间变化量。

二次指数平滑法

　　○ 布朗单一参数线性指数平滑法

　　其基本原理与线性二次移动平均法相似，因为当趋势存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进行修正。

$\begin{align*} &S_t^1=ax_t+(1-a)S_{t-1}^1\\ &S_t^2=aS_t^1+(1-a)S_{t-1}^2\\ &a_t=2S_t^1-S_t^2\\ &b_t=\frac{a}{1-a}(S_t^1-S_t^2)\\ &F_{t+T}=a_t+b_tT \end{align*}$

　　下面以某省农民家庭平均每人全年食品支出数据为例，用二次指数平滑法（取参数a=0.8），计算历年的理论预测值和2005年的预测值，并计算平均绝对误差。

　　在二次指数平滑法中， $S_t^1$ 和 $S_t^2$ 是为了计算最终预测值服务的平滑值。 $S_t^1$ 列从第二行起的计算公式为：" $=\$K\$1*B3+\$K\$2*C2$ "； $S_t^2$ 列从第二行起的计算公式为：" $=\$K\$1*C3+\$K\$2*D2$ "

　　若要预测2005年的值：F₀₅=a₀₄+b_04*T=496.46+53.49=549.95元。其余类推。

　○ Holt双参数线性指数平滑法

　　霍尔特指数平滑法有两个基本平滑公式和一个预测公式，两个平滑公式分别对时间数列的两种因素进行平滑，它们是：

$\begin{align*} &S_t=\alpha x_t+(1-\alpha)(S_{t-1}+b_{t-1})\\ &b_t=\gamma(S_t-S_{t-1})+(1-\gamma)b_{t-1}\\ &F_{t+T}=S_t+b_tT \end{align*}$

　　公式中： $\alpha$ 、 $\gamma$ 为平滑参数； $x_t$ 为实际观察值；T为外推预测时期数。第一个公式利用前一期的趋势值 $b_{t-1}$ 直接修正平滑值 $S_t$ ，即将 $b_{t-1}$ 加前一期平滑值 $S_{t-1}$ 上，这就消除了滞后，并使 $S_t$ 近似达到最新数据值；公式2是来修正趋势值 $b_t$ ，趋势值用相邻两次平滑值之差来表示，由于随机性，可以利用平滑系数 $\gamma$ 对两次相邻平滑值之差进行修正，并将修正值加上前期趋势值乘以 $(1-\gamma)$ 。

　　初始值S₁通常设为x₁_，b₁的初值可以按照下列三种方式之一确定:

$\begin{eqnarray} b_1 & = & x_2 - x_1 \\ b_1 & = & \frac{1}{3} \left[ (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + (x_4 - x_3) \right] \\ b_1 & = & \frac{x_n - x_1}{n-1} \end{eqnarray}$