指数平滑法
- 一次移动平均法
一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度的平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机性因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化。
移动平均法的优点有：1. 计算量小；2. 移动平均线能较好的反应时间序列的趋势及其变化。
移动平均法的两个主要限制：1. 计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量数据时，就必须存储大量数据；2. N个过去观察值中每一个权值都相等，而早于(t-N+1)期的观察值的权值为0，但实际上往往是最近观察的数据包含更多信息，应具有更大权重。
- 一次指数平滑法
一次指数平滑法是一种特殊的加权平均法，对本期观察值和本期预测值赋予不同的权重，求得下一期预测值的方法。这种方法既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题。其通式为：
$$F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)F_t$$
$F_{t+1}$为t+1期的预测值，$x_t$为t期实际观测值，$\alpha$为权值（也称为平滑系数）。根据通式，t期预测值$F_t=\alpha x_{t-1}+(1-\alpha)F_{t-1}$，将其代入上式中得到$F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)[\alpha x_t+(1-\alpha)F_{t-1}]$
而t-1期的预测值又可以写为：$F_{t-1}=\alpha x_{t-2}+(1-\alpha)F_{t-2}$，将其代入上式可得
$$F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)\alpha x_{t-1}+(1-\alpha)^2\alpha x_{t-2}+(1-\alpha)^3F_{t-2}$$
根据以上规律，通式可以写为如下形式：
$$F_{t+1}=\alpha x_t+(1-\alpha)\alpha x_{t-1}+(1-\alpha)^2\alpha x_{t-2}+(1-\alpha)^3\alpha x_{t-3}+...+(1-\alpha)^n\alpha x_{t-n}+...+(1-\alpha)^tF_1$$
由于$(1-\alpha)$的取值在0到1之间，所以$(1-\alpha)^n$的值会越来越小，即离t+1期越久远的观测值，对t+1期的预测值的影像越小。式子中最后一项的$F_1$就是第一期的预测值（初始值），通常可以取第一期的实际值为初值或者取最初几期的平均值为初值（一般分为两种情况：当样本为大样本时（n>42），F1一般以第一期的观察值代替；当样本为小样本时（n<42），F1一般取前几期的平均值代替）。当t很大时$(1-\alpha)^tF_1$非常接近0，所以$F_1$在式子中的影响并不大。用文字描述该通式就是：对离预测期较近的观察值赋予较大的权数，对离预测值较远的观察值赋予较小的权数，权数由近到远按指数规律递减，所以叫做指数平滑法。
下面举个例子来说明指数平滑法的计算方法。某产品过去20个月的销售数据如下：
C列为指数平滑法计算得到的预测值，F1的值为前三期的平均值，即在C2处输入=AVERAGE(B2:B4)，C3处输入$=\$E\$1*B2+(1-\$E\$1)*C2$，E1的值是指数平滑系数，C3中引用到E1的值需要有绝对引用，这样把C3处的公式下拉复制到C21时，公式永远都是引用E1的指数平滑系数。得出来的结果如下图：
可以看到，指数平滑法进行预测，是有滞后作用的，这是指数平滑法的一个缺点。要对第21期进行预测，只需在A22处输入21，把公式下拉复制到C22即可。
一次指数平滑法比较简单，优点在于它在计算中将所有的观察值在考虑在内，对各期按时期的远近赋予不同的权重，使预测值更接近实际观察值。但是也存在一些问题，问题之一是要找到合适的α值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。
- 二次移动平均法
二次移动平均法，是对一次移动平均数再进行第二次移动平均，再以一次移动平均值和二次移动平均值为基础建立预测模型，计算预测值的方法。运用一次移动平均法求得的移动平均值存在滞后偏差。特别是在时间序列数据呈现线性趋势时，移动平均值总是落后于观察值数据的变化。二次移动平均法，正是要纠正这一滞后偏差，建立预测目标的线性时间关系数学模型，求得预测值。二次移动平均法适用于有明显趋势变动的市场现象时间序列的预测。线性二次移动平均法的通式为：
$$\begin{align*}
&S_t^1=\frac{x_t+x_{t-1}+x_{t-2}+...+x_{t-N+1}}{N}\\
&S_t^2=\frac{S_t^1+S_{t-1}^1+S_{t-2}^1+...+S_{t-N+1}^1}{N}\\
&a_t=2S_t^1-S_t^2\\
&b_t=\frac{2}{N-1}(S_t^1-S_t^2)\\
&F_{t+T}=a_t+b_tT
\end{align*}$$
式中，$S_t^1$为第t期的一次移动平均值；$S_t^2$为第t期的二次移动平均值；N为计算移动平均值的跨越期；T为预测超前期数；$a_t$为截距，即第t期现象的基础水平；$b_t$为斜率，即第t期现象的单位时间变化量。
- 二次指数平滑法
○ 布朗单一参数线性指数平滑法
其基本原理与线性二次移动平均法相似，因为当趋势存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进行修正。
$$\begin{align*}
&S_t^1=ax_t+(1-a)S_{t-1}^1\\
&S_t^2=aS_t^1+(1-a)S_{t-1}^2\\
&a_t=2S_t^1-S_t^2\\
&b_t=\frac{a}{1-a}(S_t^1-S_t^2)\\
&F_{t+T}=a_t+b_tT
\end{align*}$$
下面以某省农民家庭平均每人全年食品支出数据为例，用二次指数平滑法（取参数a=0.8），计算历年的理论预测值和2005年的预测值，并计算平均绝对误差。
在二次指数平滑法中，$S_t^1$和$S_t^2$是为了计算最终预测值服务的平滑值。$S_t^1$列从第二行起的计算公式为："$=\$K\$1*B3+\$K\$2*C2$"；$S_t^2$列从第二行起的计算公式为："$=\$K\$1*C3+\$K\$2*D2$"
若要预测2005年的值：F05=a04+b04*T=496.46+53.49=549.95元。其余类推。
○ Holt双参数线性指数平滑法
霍尔特指数平滑法有两个基本平滑公式和一个预测公式，两个平滑公式分别对时间数列的两种因素进行平滑，它们是：
$$\begin{align*}
&S_t=\alpha x_t+(1-\alpha)(S_{t-1}+b_{t-1})\\
&b_t=\gamma(S_t-S_{t-1})+(1-\gamma)b_{t-1}\\
&F_{t+T}=S_t+b_tT
\end{align*}$$
公式中：$\alpha$、$\gamma$为平滑参数；$x_t$为实际观察值；T为外推预测时期数。第一个公式利用前一期的趋势值$b_{t-1}$直接修正平滑值$S_t$，即将$b_{t-1}$加前一期平滑值$S_{t-1}$上，这就消除了滞后，并使$S_t$近似达到最新数据值；公式2是来修正趋势值$b_t$，趋势值用相邻两次平滑值之差来表示，由于随机性，可以利用平滑系数$\gamma$对两次相邻平滑值之差进行修正，并将修正值加上前期趋势值乘以$(1-\gamma)$。
初始值S1通常设为x1，b1的初值可以按照下列三种方式之一确定:
$$\begin{eqnarray}
b_1 & = & x_2 - x_1 \\
b_1 & = & \frac{1}{3} \left[ (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + (x_4 - x_3) \right] \\
b_1 & = & \frac{x_n - x_1}{n-1}
\end{eqnarray}$$
用霍尔特指数平滑法进行预测时，最重要的工作是确定平滑参数$\alpha$、$\gamma$的取值，平滑参数的取值适当与否，决定预测的精确程度。
参考：
Forecasting by Smoothing Techniques
Filters skeleton positions to reduce jitter between frames
