题解：SP24689 POWFIB - Fibo and non fibo

提示#

能开 ll 的开 ll。
矩阵快速幂的初始化，不要偷懒，要写全！
对于第一个解，斐波那契数列传递到 $100$ 够了，此时远大于 $10^9+7$ 。

我的惨痛经历。

问一#

正常的递推， $f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$ ，无需多言。设一个数 $a=n$ ，因为第 $n$ 个不是斐波那契数列的数一定大于等于 $n$ 。

问二#

这时候需要讲一下矩阵快速幂。

关于矩阵快速幂那些事#

矩阵乘法#

对于 $\rm C=AB$ ，有：

C_{i, j} = \sum_{i = 1}^{n} A_{i, k} B_{k, j}

$\mathrm{C}_{i,j}=\sum_{i=1}^n\mathrm{A}_{i,k}\mathrm{B}_{k,j}$

构造矩阵#

首先构造：

[\begin{matrix} F_{n} \\ F_{n - 1} \end{matrix}] = A [\begin{matrix} F_{n - 1} \\ F_{n - 2} \end{matrix}]

$\left[\begin{array}{c} F_{n}\\ F_{n-1} \end{array}\right] =\mathrm{A}\left[\begin{array}{c} F_{n-1}\\ F_{n-2} \end{array}\right]$

因为有：

F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}

$F_n=F_{n - 1}+F_{n - 2}$

所以，根据矩阵快速幂的相关性质，能得到：

\color{red}\mathrm{A}=\left[\begin{array}{c}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right]

$\color{red} \mathrm{A}=\left[\begin{array}{c} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]$

因此，有初始状态：

[\begin{matrix} F_{2} \\ F_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]

$\left[\begin{array}{c} F_{2}\\ F_{1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right]$

而这样，我们就能得到一条十分关键的定理：

\color{red}\left[\begin{array}{c}F_{n}\\F_{n-1}\end{array}\right]=\mathrm{A}^{n-2}\left[\begin{array}{c}F_{n-1}\\F_{n-2}\end{array}\right]

$\color{red} \left[\begin{array}{c} F_{n}\\ F_{n-1} \end{array}\right]=\mathrm{A}^{n-2}\left[\begin{array}{c} F_{n-1}\\ F_{n-2} \end{array}\right]$

矩阵快速幂#

与普通快速幂一样，无太大区别。

模板#

struct Matrix {
  ll m[5][5];
  Matrix() {
    memset(m, 0, sizeof(m));
  }
  Matrix operator*(const Matrix& b) const {
    Matrix rns;
    rep(i, 1, 2) { rep(j, 1, 2) { rep(k, 1, 2) {
      rns.m[i][j] += m[i][k] % MOD * b.m[k][j] % MOD;
      rns.m[i][j] %= MOD;
    } } }
    return rns;
  }
}ans, base;

代码#

以上该讲的都讲了，现在是大家最期待的代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rty printf("Yes\n");
#define RTY printf("YES\n");
#define rtn printf("No\n");
#define RTN printf("NO\n");
typedef long long ll;
#define int ll
#define rep(v,b,e) for(int v=b;v<=e;v++)
#define repq(v,b,e) for(int v=b;v<e;v++)
#define rrep(v,e,b) for(int v=b;v>=e;v--)
#define rrepq(v,e,b) for(int v=b;v>e;v--)
#define stg string
#define vct vector
using namespace std;

typedef unsigned long long ull;

int NormalFib[(int)1e7 + 7];

const ll MOD = 1e9 + 7;

struct Matrix {
  ll m[5][5];
  Matrix() {
    memset(m, 0, sizeof(m));
  }
  Matrix operator*(const Matrix& b) const {
    Matrix rns;
    rep(i, 1, 2) { rep(j, 1, 2) { rep(k, 1, 2) {
      rns.m[i][j] += m[i][k] % MOD * b.m[k][j] % MOD;
      rns.m[i][j] %= MOD;
    } } }
    return rns;
  }
}ans, base;

void MatrixInit() {
  base.m[1][1] = base.m[1][2] = base.m[2][1] = 1;
  base.m[2][2] = ans.m[2][1] = ans.m[2][2] = 0;
  ans.m[1][1] = ans.m[1][2] = 1;
}

void qpow(ll b) {
  while (b) {
    if (b & 1) ans = ans * base;
    base = base * base;
    b >>= 1;
  }
}
void NormalFibInit() {
  NormalFib[0] = NormalFib[1] = 1;
  rep(i, 2, INT_MAX) {
    NormalFib[i] = NormalFib[i - 1] + NormalFib[i - 2];
    if (NormalFib[i] >= MOD) {
      break;
    }
  }
}

ll fastpow(ll a, ll b) {
  ll r = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) r *= a % MOD;
    a = a * a % MOD;
    a %= MOD;
    r %= MOD;
    b >>= 1;
  }
  return r % MOD;
}

void solve() {
  MatrixInit();
  ll n;
  cin >> n;
  ll a = n;
  rep(i, 1, 100) {
    if (NormalFib[i] >= MOD) {
      break;
    }
    if (a >= NormalFib[i]) a++; else break;
  }
  ll b;
  if (n >= 2) {
    qpow(n - 2);
    b = ans.m[1][1];
  } else b = 1;
  cout << fastpow(a, b) << '\n';

}


main() {
  NormalFibInit();
	int t; cin >> t; while (t--) solve();
	return 0;
}