P10571 题解

个人认为还是一道很有意思的题目，比赛的时候差点就做出来了嘤嘤嘤。

方法#

我先说一下方法，然后再说一下为什么这个方法是正确的：

从开始往后遍历，遇到 $1$，$2$，$4$，$8$，$65536$，就在这个子串的末尾打 tag，tag 怎么打都行只要别是其中的一个。每打一个 tag 都要加一。

为什么要打 tag？#

很简单，遇到这种字符串 655368 的时候你可以脱口而出说改 $2$ 次，655365536 这种串时如果不打 tag 会输出 $2$ 次，但实际上只需要修改夹在中间的 6，即 $1$ 次。

为什么 sol 这么简单？这样的话它配黄题吗？#

证明这个 sol 的正确性就只要证明对于任意一个 $2^n\ (n\in \mathbb{N}_{+})$ ，它的字符串表示中只会包含 $1,2,4,8,65536$。这个看上去很难证明，不过计算机证明，在足够大的范围内这是正确的。

但是数据范围是 $1\le n\le 10^{10^6}$，所以不可能只用电脑蛮力证明。不过还真有一哥们发了篇 paper，虽然没指出如何证明，但指出了一条留给后人证明的道路，paper link。

在这里贴出代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define rty printf("Yes\n");
#define RTY printf("YES\n");
#define rtn printf("No\n");
#define RTN printf("NO\n");
#define rep(v,b,e) for(int v=b;v<=e;v++)
#define repq(v,b,e) for(int v=b;v<e;v++)
#define rrep(v,e,b) for(int v=b;v>=e;v--)
#define rrepq(v,e,b) for(int v=b;v>e;v--)
#define stg string
#define vct vector
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

void solve() {
	
}

main() {
//	int t; cin >> t; while (t--) solve();
  stg s;
  cin >> s;
  int len = s.size();
  int cnt = 0;
  for (int i = 0; i < len; i++) {
    if (s[i] == '1' || s[i] == '2' || s[i] == '4' || s[i] == '8') {
      cnt++;
      s[i] = '@';
    }
  }
  
  for (int i = 0; i < len - 4; i++) {
    if (s[i] == '6' && s[i + 1] == '5' && s[i + 2] == '5' && s[i + 3] == '3' && s[i + 4] == '6') {
      cnt++;
      s[i + 4] = '@';
    }
  }
  cout << cnt;
	return 0;
}