【笔记】缩点总结 + P3387 题解

缩点，顾名思义，就是把多个点当成一个点看待。典型的用法就是把强联通分量 SCC 缩为点。

如何判断环？SCC 套一个环的判断即可。当 dfn[n] == low[n] 时说明就有一个强连通分量，具体的请看我以前写的博客：link。

老样子上例题

P3387 【模板】缩点#

题目描述#

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边有向图，每个点有一个权值，求一条路径，使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。

允许多次经过一条边或者一个点，但是，重复经过的点，权值只计算一次。

输入格式#

第一行两个正整数 $n,m$

第二行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 个数 $a_i$ 表示点 $i$ 的点权。

第三至 $m+2$ 行，每行两个整数 $u,v$，表示一条 $u\rightarrow v$ 的有向边。

输出格式#

共一行，最大的点权之和。

样例 #1#

样例输入 #1#

2 2
1 1
1 2
2 1

样例输出 #1#

2

提示#

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n \le 10^4$，$1\le m \le 10^5$，$0\le a_i\le 10^3$。

解析#

这道题为什么要缩点呢？因为如果路过一个环就可以经过环上所有的点，而题目规定不能无限计算一个点所以可以把一个环看成一个点。这也是前面所提到的缩点。

走过环所有的点肯定是最划算的因为 $0\le a_i\le 10^3$。

找环怎么找前面说了，用 SCC 就行了，SCC 有 3 种常用算法：Tarjan, Garbow, Kosaraju。这里篇幅限制我只介绍 Tarjan。其他两种算法也在这个博客提到了。

缩点本质上还是和 SCC 一个算法，这题的核心其实不是在缩点，这个一会再说， Tarjan代码如下：

void tarjan(int x) {
  st[++top] = x;
  dfn[x] = low[x] = ++dfncnt;
  for (int i = head[x]; i; i = E[i].next) {
    int v = E[i].v;
    if (!dfn[v]) {
      tarjan(v);
      low[x] = min(low[x], low[v]);
    } else if (!vis[v]) {
      low[x] = min(low[x], dfn[v]);
    }
  }
  if (dfn[x] == low[x]) {
    int v;
    while (v = st[top--]) {
      circle_belong[v] = x; // 环的归属，就是 v 点归属于哪条环，当 circle_belong[v] == v 时就说明这个点不经过任何环。
      vis[v] = 1; // 访问过的记录
      if (x == v) { // 环首尾相连了，回到原处就 break
        break;
      }
      pts[x] += pts[v]; // 一个环里的所有点肯定可以缩到一个点
    }
  }
}

上面是 Tarjan，下面是缩点的核心代码：

input();
rep(i, 1, n) {
  if (!dfn[i]) {
    tarjan(i);
  }
}
rep(i, 1, m) {
  int u = circle_belong[E[i].u], v = circle_belong[E[i].v]; // 判断一条边两个点的环归属
  if (u != v) { // 不是同一个说明不在环内
    E2[++cnt2] = {u, v, head2[u]}; // 建新图
    head2[u] = cnt2;
    in[v]++; // 这个是点的入边数量，后面题解要用。
  }
}

好了，其实缩点的核心内容已经讲完了，接下来讲本题的核心：也就是如何计算最大值。

解析 Ⅱ#

以每个环为起点（孤立一个点也算环哈），跑 dp。对于任何一条边 $(u,v)$，可以得到状态转移方程：

$$d_v=\max\{d_u+p_v\}$$

其中 $p_v$ 为所有点的权值。

那么作为 dp，肯定有无后效性问题，这个要用拓扑排序解决。如果说一个点的所有入边已经被遍历过了，就把这个点加入队列里。至于为什么？因为点的遍历顺序你掌控不好直接头脑风暴。

给出完整代码，很长，我调了 2 天：

#include <bits/stdc++.h>
#define rty printf("Yes\n");
#define RTY printf("YES\n");
#define rtn printf("No\n");
#define RTN printf("NO\n");
#define rep(v,b,e) for(int v=b;v<=e;v++)
#define repq(v,b,e) for(int v=b;v<e;v++)
#define rrep(v,e,b) for(int v=b;v>=e;v--)
#define rrepq(v,e,b) for(int v=b;v>e;v--)
#define stg string
#define vct vector
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

void solve() {
	
}
const int N = 1e4 + 5, M = 1e5 + 5;
int n, m, head[N], cnt, st[N], top, dfncnt;
int pts[N], circle_belong[N], head2[N]; // circle_belong: 环的归属
int dfn[N], low[N];
bool vis[N];
struct edge {
  int u, v, next;
}E[M], E2[M];
void add(int u, int v) {
  E[++cnt] = {u, v, head[u]};
  head[u] = cnt; 
}
void input() {
  cin >> n >> m;
  rep(i, 1, n) {
    cin >> pts[i];
  }
  rep(i, 1, m) {
    int u, v; cin >> u >> v;
    add(u, v);
  }
}

void tarjan(int x) {
  st[++top] = x;
  dfn[x] = low[x] = ++dfncnt;
  for (int i = head[x]; i; i = E[i].next) {
    int v = E[i].v;
    if (!dfn[v]) {
      tarjan(v);
      low[x] = min(low[x], low[v]);
    } else if (!vis[v]) {
      low[x] = min(low[x], dfn[v]);
    }
  }
  if (dfn[x] == low[x]) {
    int v;
    while (v = st[top--]) {
      circle_belong[v] = x;
      vis[v] = 1;
      if (x == v) {
        break;
      }
      pts[x] += pts[v];
    }
  }
}

int cnt2, in[N], dist[N];
main() {
//	int t; cin >> t; while (t--) solve();
  input();
  rep(i, 1, n) {
    if (!dfn[i]) {
      tarjan(i);
    }
  }
  rep(i, 1, m) {
    int u = circle_belong[E[i].u], v = circle_belong[E[i].v];
    if (u != v) {
      E2[++cnt2] = {u, v, head2[u]};
      head2[u] = cnt2;
      in[v]++;
    }
  }
  queue<int> q;
  rep(i, 1, n) {
    if (circle_belong[i] == i && !in[i]) {
      q.push(i);
      dist[i] = pts[i];
    }
  }
  while (q.size()) {
    int frt = q.front(); q.pop();
    for (int i = head2[frt]; i; i = E2[i].next) {
      int v = E2[i].v;
      dist[v] = max(dist[v], dist[frt] + pts[v]);
      in[v]--;
      if (!in[v]) {
        q.push(v);
      }
    }
  }
  int ans = 0;
  rep(i, 1, n) {
    ans = max(ans, dist[i]);
  }
  cout << ans;
	return 0;
}