『学习笔记』二分算法

合集 - 『学习笔记』(2)

1.『学习笔记』二分算法01-26

2.关于pushup与pushdown的几种常见情况01-26

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今天记录二分知识点。

二分是一个简单清晰，实用性强的算法。

也是本人最喜欢的算法之一。

先给出二分模板吧！

	int l = 1, r = n;
	//初始值，根据情况而定
	while (l + 1 < r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (check(mid)) l = mid;
		// check函数判断左半部分是否不符合，更新 l
		else r = mid;
		// 否则更改 r
	}

Part one: 二分搜索

二分是一种高效的查找方法，‌它会将搜索范围一分为二，‌减小搜索范围，‌直到找到目标或确定目标不存在。‌一般可以将时间复杂度从 $O(n)$ 优化到 $O({\log }_{2}n)$。‌

但是，二分有个前提要求，就是应具有单调性，比如单调不递减（升序）序列。

$edg.$ 在一个升序序列 $s$ 中找到一个指定值 $x$。令 $n=|s|$， $n\le {10}^6$。

大家想到的第一种方法应该是遍历整个序列找 $x$ 吧。这种方法的时间复杂度为 $O(n)$，在某些时候并不足够优秀，可能导致 $TLE$。

这时，大名鼎鼎的二分就能发挥其作用了。

先看一段代码：

	scanf("%d", &x); // 查找的数字  
	stable_sort(a + 1, a + n + 1);
	// 排序，使序列具有单调性，才能二分  
	int l = 1, r = n;
	while (l + 1 < r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (a[mid] <= x) l = mid;
		else r = mid;
	}
	pos = l;
	printf("%d", pos);

二分的第一步就是确定查找的范围，即 $l$ 和 $r$ 的初始值。

在序列中二分时，$l$ 一般是 $1$，$r$ 一般是序列最后一位的下标。

二分时，首先找出中间值，即 mid = (l + r) >> 1，等价于 mid = (l + r) / 2。

然后，我们需要更新左右端点的值。

若 $mid$ 左边的数已经不满足条件，就可以把 $mid$ 左边舍弃，将左端点（ $l$ ）更新为 $mid$。

否则，缩小范围，既然左边满足条件，我们只需关注左边的部分，将右端点（ $r$ ）更新为 $mid$。

此时，区间就缩小到 $(l,mid)$ 或 $(mid,r)$了。

之后不断如此操作，就能将时间复杂度大大减少。

看模板，此时的 $check(mid)$ 函数为：a[mid] <= x。

Part two：二分答案

什么是二分答案呢？顾名思义，我们二分的不再是坐标，而是此题的答案。

同样重要的是单调性！答案具有单调性，才能使用二分大法。

再次看到二分模板。

int l = 1, r = n;
while (l + 1 < r) {
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (check(mid)) l = mid;
    else r = mid;
}

此时，二分中的 $check$ 函数便是判断 $mid$ 是否满足要求，然后与二分查找一样，减短 $l$，$r$ 的范围。

是不是很 easy 呢？光说不练假本事，上道例题。

luogu P2440

题目大意人话：

使 $\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{a_i}{l}\rfloor =k$ 的 $l$ 的最大值，即 $l_{max}$。

不难发现，随着 $l$ 的不断增大，总和在不断减少。这就是我们梦寐以求的单调性！接下来，我们就可以快乐地写二分了。

想想 check 函数怎么写。

没错，记录当 $l=x$ 时能砍下的总段数 $sum$，判断是否 $sum\ge k$ 即可。

如此代码：

inline bool check(int x) {
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ret += a[i] / x;
    return ret >= k;
}

如果满足，由于求满足条件的最大值，$mid$ 左边就没有价值去搜索了，将目光转向右边，即将左端点更新为 $mid$。

否则，同理，将右端点更新为 $mid$。

最后答案便储存在 $l$ 里了。

你的第一道二分题就 $Accepted$ 啦。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair <int, int>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], n, k;
inline bool check(int x) {
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ret += a[i] / x;
    return ret >= k;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int l = 0, r = 1;
    //注意有无解情况，l的初始值为0。
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        r = max(r, a[i]);
    }
    while (l + 1 < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%d", l);
    return 0;
}

这里有一个题单，同学们一起进步吧~