Schroeder-Bernstein Theorem 证明

$\text{Schroeder-Bernstein Theorem}$

定理(Schroeder-Bernstein)：如果有单射 $f:X\to Y$ 和单射 $g:Y\to X$，那么存在着两个集合之间的双射 $\phi :X\to Y$。

$\text{Proof}$

定义：$h:X\to Y$ 是复合映射 $h=g\circ f$。

$\text{Lemma 1}$

$h$ 是单射。

证明：若 $\mathrm{\exists }{x}_1,x_2\in X,s.t.x_1\ne x_2$ 且 $h(x_1)=h(x_2)$。则由 $g$ 是单射知 $f(x_1)=f(x_2)$，再由 $f$ 是单射知 $x_1=x_2$（矛盾！），从而 $h$ 是单射。

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考虑 $X$ 的子集的集合 $\mathcal{F}=\{A\subset X\mid {\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)\subset A\}$。首先 $\mathcal{F}$ 非空，因为 $X\in \mathcal{F}$。

$\text{Lemma 2}$

$A\in \mathcal{F}\Rightarrow {\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)\in \mathcal{F}$。

证明：${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)\subset X$ 是显然的。而由 $A\in \mathcal{F}$ 知 ${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)\subset A$。所以 ${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h[{\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)]\subset {\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)$。即 ${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)\in \mathcal{F}$。

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我们定义：

$$A_0=\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A$$

下面我们有：

$\text{Lemma 3}$

$A_0\in \mathcal{F}$，更进一步的：${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A_0)=A_0$。

证明：$A_0\subset X$ 是显然的，我们只需证明 ${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A_0)=A_0$ 即可。

首先我们证明：

$$h(A_0)=h\left(\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A\right)=\bigcap _{A\in \mathcal{F}}h(A)$$

若 $x\in h\left(\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A\right)$ 则 $\mathrm{\exists }y\in \bigcap _{A\in \mathcal{F}}A，s.t.h(y)=x\Rightarrow \mathrm{\forall }A\in \mathcal{F}$ 都有 $y\in A$ 且 $x\in h(A)\Rightarrow x\in \bigcap _{A\in \mathcal{F}}h(A)\Rightarrow h\left(\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A\right)\subset \bigcap _{A\in \mathcal{F}}h(A)$。

若 $x\in \bigcap _{A\in \mathcal{F}}h(A)$ 则 $\mathrm{\forall }A\in \mathcal{F}，\mathrm{\exists }y\in A，s.t.h(y)=x$。由 $\text{Lemma 1}$ 可知，对每一个 $x$，这样的 $y$ 是唯一的，故 $\mathrm{\exists }y\in \bigcap _{A\in \mathcal{F}}A，s.t.h(y)=x\Rightarrow x\in h\left(\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A\right)\Rightarrow \bigcap _{A\in \mathcal{F}}h(A)\subset h\left(\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A\right)$。

因此 $h(A_0)=h\left(\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A\right)=\bigcap _{A\in \mathcal{F}}h(A)$，由此带证式子可化为：

$${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A_0)={\complement }_{X}g(Y)\bigcup [\bigcap _{A\in \mathcal{F}}h(A)]=\bigcap _{A\in \mathcal{F}}[{\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)]\subset \bigcap _{A\in \mathcal{F}}A=A_0$$

由 $\text{Lemma 2}$ 可知，求交集的所有集合均属于 $\mathcal{F}$，故：

$$A_0=\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A\subset \bigcap _{A\in \mathcal{F}}[{\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A)]\subset {\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A_0)$$

故 ${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A_0)=A_0$。

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然而 $h(A_0)\subset h(X)\subset g(Y)$ 故 ${\complement }_{X}g(Y)\bigcup h(A_0)=\varnothing$，也就是 $A_0$ 的一个划分。令 $B_0={\complement }_X{A}_0$，我们定义映射 $\phi :X\to Y$ 如下：

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{if }x\in A_0;\\ g^{-1}(x),& \text{if }x\in B_0。\end{array}$$

$\text{Lemma 4}$(证明等价于原命题证毕)

$\phi$ 是双射。

证明：先证明定义是良性的，即 $B_0\subset g(Y)$。

$$B_0\subset g(Y)\iff {\complement }_{X}g(Y)\subset {\complement }_X{B}_0\iff {\complement }_{X}g(Y)\subset A_0$$

由 $\text{Lemma 3}$ 这是显然的。

由于 $f$，$g^{-1}$ 都为单射，故只需证明 $f(A_0)\bigcap g^{-1}(B_0)=\varnothing$ 且 $f(A_0)\bigcup g^{-1}(B_0)=Y$。事实上：

若 $\mathrm{\exists }{x}_1\in A_0，x_2\in B_0，s.t.f(x_1)=g^{-1}(x_2)$，则 $h(x_1)=x_2$，但 $h(x_1)\in h(A_0)\subset A_0，x_2\in B_0$，故有 $A_0\bigcap B_0\ne \varnothing$（矛盾！）。即 $f(A_0)\bigcap g^{-1}(B_0)=\varnothing$。

另一方面：

$$f(A_0)\bigcup g^{-1}(B_0)=Y\iff h(A_0)\bigcup B_0=g(Y)\iff {\complement }_{X}h(A_0)\bigcap A_0={\complement }_{X}g(Y)$$

由 $\text{Lemma 3}$ 得出的划分可知：

$$f(A_0)\bigcup g^{-1}(B_0)=Y\iff {\complement }_{X}h(A_0)\bigcap A_0={\complement }_{X}g(Y)\iff {\complement }_{X}g(Y)\bigcup {\complement }_X{A}_0\bigcap A_0={\complement }_{X}g(Y)$$

这是显然的。

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到此我们便证明完了 $\text{Schroeder-Bernstein Theorem}$，完结撒花！！