数学趣题

前言

本栏目记录一些自己写出来的比较有意思的数学题。

正文

2020 年全国高中数学联合竞赛模拟题（13）第 一 试压轴题的加强

求所有自然数 $a$，$b$，$c$，使得对于任意的 $n\in \mathbb{Z}$，$n>2$，均有

$$b-\frac{c}{(n-2)!}<\sum _{i=2}^n\frac{i^3-a}{i!}<b.$$

解：
当 $n\ge 5$ 时：

$$\sum _{i=2}^n\frac{i^3-a}{i!}=\sum _{i=2}^n[\frac{i^2}{(i-1)!}-\frac{a}{i!}]=4-\frac{a}{n!}+\sum _{i=2}^{n-1}\frac{(i+1{)}^2-a}{i!}$$

$$=4-\frac{a}{n!}+\sum _{i=2}^{n-1}[\frac{i+2}{(i-1)!}-\frac{a-1}{i!}]=4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+\sum _{i=2}^{n-2}\frac{i+4-a}{i!}$$

$$=4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+\sum _{i=2}^{n-2}[\frac{1}{(i-1)!}-\frac{a-4}{i!}]$$

$$=4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+1-\frac{a-4}{(n-2)!}+\sum _{i=2}^{n-3}\frac{5-a}{i!}$$

记：

$$A_n=b-\frac{c}{(n-2)!}，B_n=\sum _{i=2}^n\frac{i^3-a}{i!}，C_n=b$$

而:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_n=b$$

由夹逼定理：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_n=b$$

即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+1-\frac{a-4}{(n-2)!}+\sum _{i=2}^{n-3}\frac{5-a}{i!}]=b$$

$$\Rightarrow 9-(5-a)\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i!}=b$$

$$\Rightarrow 9-(5-a)(e-2)=b$$

由于$a$，$b$ 均为自然数可知，$(e-2)$ 的系数必然为 $0$，即 $a=5$，$b=9$。

不难验证:

$$\sum _{i=2}^n\frac{i^3-5}{i!}=9-\frac{5}{n!}-\frac{4}{(n-1)!}-\frac{1}{(n-2)!}$$

对 $n\in \mathbb{Z}$，$n>2$ 恒成立，而：

$$9-\frac{c}{(n-2)!}<9-\frac{5}{n!}-\frac{4}{(n-1)!}-\frac{1}{(n-2)!}$$

也恒成立，化简得：

$$c>\frac{5}{n(n-1)}+\frac{4}{n-1}+1$$

$\text{RHS}$ 随着 $n$ 的增大而减小，故 $c$ 只需满足：

$$c>\frac{5}{3\times 2}+\frac{4}{2}+1$$

又 $c$ 为自然数，故 $c\ge 4$。

综上，所有满足条件的解为：$a=5$，$b=9$，$c$ 为不小于 $4$ 的任意自然数。